湖北省部分重点中学2017-2018学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2017-12-18 类型：期中考试

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一、选择题

1. 命题p：∃x₀∈R，x₀²﹣5x₀+6＜0，则（）

A、¬p：∃x₀∈R， $x_{0}^{2} - 5 x_{0} + 6 \geq 0$ B、¬p：∃x₀∉R， $x_{0}^{2} - 5 x_{0} + 6 < 0$ C、¬p：∀x∈R，x²﹣5x+6＞0 D、¬p：∀x∈R，x²﹣5x+6≥0

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2. 已知命题p：经过定点P₀（x₀ ， y₀）的直线都可以用方程y﹣y₀=k（x﹣x₀）表示，命题q：直线xtan $\frac{π}{6}$ +y﹣7=0的倾斜角是 $\frac{5 π}{6}$ ，则下列命题是真命题的为（）

A、（¬p）∧q B、p∧q C、p∨（¬q） D、（¬P）∧（¬q）

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3. p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，则（）

A、p是q的充分非必要条件 B、p是q的必要非充分条件 C、p是q的充要条件 D、p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

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4. 圆x²+y²﹣4x+6y=0与直线2mx+y+2﹣m=0（m∈R）的位置关系为（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、以上都有可能

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5. 曲线x²+y²=2|x|+2|y|所围成的图形的面积为（）

A、6+2π B、6+4π C、8+2π D、8+4π

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6. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq x \\ 4 x + 3 y \leq 12 \end{matrix}$ 则 $\frac{x + 2 y + 5}{x + 1}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{71}{19} ， 13]$ B、[1，12] C、 $[\frac{70}{19} ， 13]$ D、[2，12]

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7. 斜率为1的直线l与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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8. 已知过点（0，1）的直线与圆x²+y²=4相交于A、B两点，若 $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O P}$ ，则点P的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1$ B、x²+（y﹣1）²=1 C、 $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 2$ D、x²+（y﹣1）²=2

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9. 已知两点A（﹣1，0），B（0，1），点P是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、6 D、 $6 \sqrt{2}$

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10. 已知直线l：y=kx+1过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < a)$ 的上顶点B和左焦点F，且被圆x²+y²=1截得的弦长为L，若 $L \geq \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则椭圆离心率e的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{2 \sqrt{5}}{5}]$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{5}}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{2 \sqrt{3}}{5}]$ D、 $(0 ， \frac{2 \sqrt{2}}{3}]$

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11. 设椭圆C的两个焦点是F₁、F₂ ，过F₁的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF₂|=|F₁F₂|，且5|PF₁|=6|F₁Q|，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{7}{13}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{13}$ D、 $\frac{9}{11}$

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12. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x²+y²=1和点 $A (- \frac{1}{2} ， 0)$ ，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{11}$

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二、填空题

13. 过点P（1，2），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是．

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14. 已知圆x²+y²=16，直线l： $y = \sqrt{3} x + m$ ，圆上至少有三个点到直线l的距离都是2，则m的取值范围是．

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15. 椭圆mx²+y²=1的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则它的长轴长是．

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16. 过点M（0，1）的直线l交椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 于A，B两点，F₁为椭圆的左焦点，当△ABF₁周长最大时，直线l的方程为．

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三、解答题

17. 已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣7=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣6=0．

(1)、求点C的坐标；

(2)、求直线BC的方程．

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18. 已知中心在原点的椭圆，右焦点（1，0），且过 $(\sqrt{3} ， 0)$ ．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

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19. 为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．

(1)、使用每天生产的汤碗个数x与花瓶个数y表示每天的利润ω（元）；

(2)、怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

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20. 过点（0，2）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆C相交于A、B两点，直线 $y = \frac{1}{2} x$ 过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称．

(1)、求直线l的方程；

(2)、求椭圆C的方程．

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21. 在直角坐标系xOy中，二次函数y=x²+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1）．当m变化时，解答下列问题：

(1)、以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；

(2)、过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

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22. 已知圆M： $x^{2} + y^{2} + 2 \sqrt{2} y - 10 = 0$ 和点 $N (0 ， \sqrt{2})$ ，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC的斜率分别是k₁ ， k₂ ，满足k₁•k₂=9，求△ABC面积的最大值．

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