《一线三等证全等》精选压轴题——人教版八年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-24 类型：复习试卷

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一、填空题

1. 如图，小明用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙 $A D, C E$ ，两堵木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，点B 在 $D E$ 上，点A 和C 分别与木块墙的顶端重合．若两堵木块墙的高度关系为 $A D = 2 C E, D E = 36 c m$ ，则 $A D =$ $c m$ ．

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二、解答题

2. 如图，等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点A，B分别在坐标轴上．

(1)、如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；

(2)、如图2，若 $B C$ 交x轴于点M，过C点作 $C D ⊥ B C$ 交y轴于D点．求证： $B C - C D = M C$ ；

(3)、如图3，若点A是x轴负半轴上的一个点，坐标为 $(- m, 0)$ ，点B是y轴正半轴上的一个点，坐标为 $(0, n)$ ，以 $O B$ 为直角边在第二象限作等腰直角 $△ O B E$ ，连接 $C E$ 交y轴于P点，求点P的坐标（用含m，n的式子表示）

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3. 如图 $1$ ，在平面直角坐标系中，点 $A (a, 0)$ ， $C (0, c)$ 满足 $|a + 2 c| + c^{2} - 6 c + 9 = 0$ ，点 $B$ 在第四象限， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ．

(1)、 $a =$ ______， $c =$ ______， $O A =$ ______；

(2)、求点 $B$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ，点 $M$ 为点 $C$ 上方的 $y$ 轴上一点，以点 $C$ 为直角顶点作等腰 $Rt △ C M N$ ， $C M = C N$ ，点 $N$ 在点 $C$ 的右侧，连 $B N$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若 $C E = 5$ ，求 $A M$ 的长．

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4. 羊羊同学对教材中用图形的面积说明平方差公式和完全平方公式的内容很感兴趣．他继续钻研，开展数学活动．
如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，过点C作直线l，过A作 $A D ⊥ l$ 于点D，过点B作 $B E ⊥ l$ 于点 $E$ ．设 $A D = a$ ， $C D = b$ ， $A C = c$ ，记四边形ADEB的面积为 $S$ ．

(1)、用含c的式子表示 $△ A B C$ 的面积：；

(2)、羊羊查阅相关资料，知道 $S = \frac{1}{2} (A D + B E) \cdot D E$ ．请用含a，b的式子表示S；

(3)、羊羊又发现S还可以用三个三角形的面积相加来计算．按照这个思路，结合问题（2），你能得到a，b，c之间满足怎样的等量关系呢？请说明理由．

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5. 已知：实数 $m$ 满足 $m^{2} + 16 = 8 m$ ．

(1)、直接写出 $m$ 的值为_____；

(2)、如图，在平面直角坐标系中， $A$ 是 $y$ 轴正半轴上的点， $D$ 是 $x$ 轴正半轴上的点．
①如图1， $B$ 是 $y$ 轴正半轴上 $O$ ， $A$ 之间的点， $C$ 是 $x$ 轴正半轴上 $O$ ， $D$ 之间的点，若 $∠ C B D = 45 °$ ， $∠ B C O = ∠ D A O$ ， $A D = 2 m$ ， $B C = 2$ ，求 $△ C B D$ 的面积．
②如图2，若 $A O = m$ ， $D O = \frac{3}{2} m$ ，在坐标系中第二、四象限夹角平分线上一点 $P$ 的坐标为 $(n, - n)$ ，以 $A P$ 为斜边作等腰 $R t △ A P Q$ （ $A$ ， $P$ ， $Q$ 按逆时针排列）．
（Ⅰ）求点 $Q$ 的纵坐标；
（Ⅱ）连接 $D Q$ ，当 $D Q$ 的值最小时，直接写出 $n$ 的值为______．

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6. 在平面直角坐标系中，A(2，0)，C(0，-4）.

(1)、如图(1)，若点B在第四象限，∠BAC=90°，AB=AC，直接写出B的坐标；

(2)、y轴正半轴上有一点D，△DAC沿AC翻折得到△EAC. △DAC沿DA翻折得△DAF，
DP，CE交点为Q.
①如图(2)，若∠DAC=140°，直接写出∠DQC的度数；
②如图(3)，若D(0，m)，EC⊥DF，EF与x轴相交于点H，求点H的坐标 (用含m的式子表示).

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7. 【问题提出】
（1）如图1，直线l经过点A， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证： $△ A B D ≌ △ C A E$ ；
【变式探究】
（2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果 $∠ C E A = ∠ B A C = ∠ A D B$ ， $A B = A C$ ，求证： $D E = B D + C E$ ；
【拓展应用】
（3）如图3所示，在 $Rt △ B A D$ 和 $Rt △ C A E$ 中， $∠ B A D = ∠ C A E = 9 0^{\circ}$ ， $A B = A D$ ， $A C = A E$ ，连接 $B C$ ， $D E$ ，作 $B C$ 边上的高 $A G$ ，延长 $G A$ 交DE于点 $H$ ．若 $A H = 5$ ， $A G = 12$ ，求 $△ D A E$ 的面积．

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8. 阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为 $90 °$ ，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．

(1)、问题解决：如图1，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = B C$ ，过点 $C$ 作直线 $D E$ ， $A D ⊥ C E$ 于点 $D, B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ，则 $C D$ 与 $B E$ 的数量关系是；

(2)、问题探究：如图2，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = B C$ ，过点 $C$ 作直线 $C E, A D ⊥ C E$ 于点 $D, B E ⊥ C E$ 于点 $E, A D = 2 cm, D E = 1.6 cm$ ，求 $B E$ 的长；

(3)、拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中， $A (- 1.5, 0), C (1.5, 3.5), △ A B C$ 为等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °, A C = B C$ ，求 $B$ 点坐标．

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9. 妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形“和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通.于是撰写了一篇数学作文.请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容.“一线三垂直“模型的探索与拓展
【模型呈现】”一三垂直”模型是“一线三等角“模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为”一线三垂直模型”.若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形.例如：如图1，∠ACB=90°，过点C作任意一条直线m ， AD⊥m于点D ， BE⊥m于点E ，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直“模型：如果AC=BC ，那么由∠1+∠2=∠2+∠B=90°，可得∠1=∠B ，又∵∠ADC=∠CEB=90°，∴△ADC≌△CEB.
【模型探索】问题1：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E ，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=7，CF=2.求：线段EF的长，写出详细解答过程.
【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，A（-3，0）B（0，6），若△ABP是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标.
【模型迁移】问题3：如图4，△ABC为等边三角形，点D ， E ， F在三边上，BD=CF ， ∠EDF=∠B.求证：△DEF是等边三角形.

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10.

(1)、【尝试探索】如图1， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, C B = C A$ ，直线
$E D$ 经过点 $C$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ E D$ 于点 $D$ ，过 $B$ 作 $B E ⊥ E D$ 于点 $E$ ．求证： $△ B E C ≌ △ C D A$ ．

(2)、【拓展提升】如图2，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上一点， $∠ C A D = 90 °, A C = A D, ∠ D B A = ∠ D A B$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求点 $C$ 到 $A B$ 边的距离．

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11.

(1)、【基础回顾】
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE；

(2)、【变式探究】
如图2，在△ABC中，AB=AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA=∠ADB=∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明；

(3)、【拓展应用】
小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S₁ ， △AEH的面积为S₂ ，猜猜想S₁ ， S₂大小关系，并说明理由．

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12. 如图，等腰直角 $△ A B C$ 中， $B C = A C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为 $(0, 3)$ ，点C坐标为 $(9, 0)$ ．过点A作 $A D ⊥ x$ 轴，垂足为D．

(1)、求OD的长及点A的坐标；

(2)、取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；

(3)、连接OA，已知 $O A = 15$ ，试探究在x轴上是否存在点Q，使 $△ O A Q$ 是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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13. 在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 为等腰直角三角形，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $C$ 在第一象限，且 $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C$ ．

(1)、如图1，点 $A$ 的坐标为 $(0, 4)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，则 $C$ 点的坐标为；

(2)、如图2， $O B = O E$ ，求证： $∠ A C E = ∠ A B E$ ；

(3)、在（2）的条件下，如图3， $C D = D E$ ， $C D ⊥ D E$ ， $M$ 为线段 $B E$ 的中点，连接 $A M$ ， $M D$ ，求证： $A M ⊥ M D$ ．

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14. 如图，在三角形 $A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，点 $A$ ， $B$ 分别在坐标轴上．

(1)、如图①，若点C的横坐标为 $- 3$ ，点B的坐标为______；

(2)、如图②，若x轴恰好平分 $∠ B A C$ ， $B C$ 交x轴于点M，过点C作 $C D$ 垂直x轴于D点，试猜想线段 $C D$ 与 $A M$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图③， $O B = B F$ ， $∠ O B F = 90 °$ ，连接 $C F$ 交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时， $△ B P C$ 与 $△ A O B$ 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．

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15. 综合与实践：
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ，点E为 $△ A B C$ 外一点， $A E ⊥ C E$ ，过B作 $B F ⊥ A E$ ，垂足分别为 $E 、 F$ ．求证： $E F = B F - C E$ ．
独立思考：（1）请证明王老师提出的问题．
实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答．
“如图2， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ，点D是 $B C$ 上一点， $B A = B D ， C E ⊥ A D$ 于E，求证： $A D = 2 C E$ ”．
问题解决：
（3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现：
“如图3， $△ A B C$ 中， $A B = A C,∠ B A C = 90 °$ ，点D为 $B C$ 上一点， $A E ⊥ C E$ ，过点A作 $A M ⊥ A E$ ，且 $A M = A E$ ，连接 $B M$ ．若 $C E = 2$ ，请直接写出 $A G$ 的值为 ▲ ． ”

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16. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (a, 0)$ ， $B (0, b)$ 分别在坐标轴的正半轴上．

(1)、如图1，若a、b满足 ${(a - 8)}^{2} + \sqrt{b - 6} = 0$ ，以B点为直角顶点， $A B$ 为直角边在第一象限内作等腰直角 $△ A B C$ ，直接写出点C的坐标是．

(2)、如图2，若 $a = b$ ， D是 $O A$ 延长线上一点，以点D为直角顶点， $B D$ 为直角边在第一象限作等腰 $Rt △ B D M$ ，连接 $A M$ ，求 $∠ M A D$ 的大小．

(3)、如图3，若 $a = b$ ， P、E是x轴上两动点，P在点A右边，E在O点左边，且 $A P = O E$ ，过点O作 $E B$ 的垂线交 $A B$ 的延长线于点F，连接 $P F$ ，求证： $A F$ 平分 $∠ P F O$ ．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (a, 0)$ ，点 $B (0, b)$ ，且a，b满足 ${(a - b)}^{2} + \sqrt{b - 4} = 0$ ．

(1)、直接写出 $△ A O B$ 的面积；

(2)、如图1，若点C为线段 $O B$ 上一点，连接 $A C$ ，作 $C D ⊥ A C$ ，且 $C D = A C$ ，连接 $B D$ ．求 $∠ D B A$ 的度数；

(3)、如图2，在（2）的条件下，连接 $O D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $O D$ ， $A B$ 的中点，连接 $C E$ ， $E F$ ，请探究线段 $C E$ 与 $E F$ 之间的关系，并证明你的结论．

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