《角平分线与全等三角形》精选压轴题——人教版八年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-24 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A E$ 是 $∠ B A D$ 的平分线，且 $A E ⊥ D E$ ．若 $A D = a$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为 $m$ ，则点 $E$ 到 $C D$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 m}{a}$ B、 $\frac{3 m}{2 a}$ C、 $\frac{m}{a}$ D、 $\frac{m}{2 a}$

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2. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 、 $∠ E A C$ 的角平分线 $B P$ 、 $A P$ 交于点 $P$ ，延长 $B A$ 、 $B C$ ， $P M ⊥ B E$ ， $P N ⊥ B F$ ，则下列结论中正确的个数（）
① $C P$ 平分 $∠ A C F$ ；② $∠ A B C + 2 ∠ A C P = 180 °$ ；③ $∠ A C B = 2 ∠ A P B$ ；④ $S_{△ P A C} = S_{△ M A P} + S_{△ N C P}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 如图，在 $Δ O A B$ 和 $Δ O C D$ 中， $O A = O B, O C = O D, O A > O C, ∠ A O B = ∠ C O D = 30 °$ 连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相较于F，连接OM，则下列结论中：① $A C = B D$ ；② $∠ A M B = 30 °$ ；③ $Δ O M E ≅ Δ O F M$ ；④MO平分 $∠ B M C$ ，正确的个数有( )

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ， $A G$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 与点G， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点D， $A G 、 B D$ 相交于点F， $B E ⊥ A G$ 交 $A G$ 的延长线于点E，连接 $C E$ ，下列结论中：①若 $∠ B A D = 72 °$ ，则 $∠ E B C = 6 °$ ；② $A B = B G + A D$ ；③ $S_{△ A B C} > 2 S_{△ A C E}$ ；④ $\frac{2 E F}{F D} = \frac{A B}{A D}$ ．其中正确的结论有（填写序号即可）．

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5. 如图，△ABC中，∠ACB=60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有.（请填写序号）
①若∠BAD=70°，则∠EBC=5°；
②BE=CE；
③AB=BG+AD；
④ $\frac{S_{△ B F G}}{S_{△ A F D}} = \frac{B F}{A F}$ .

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6. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b）分别在坐标轴的正半轴上．设AB＝c. 当∠ABO的平分线经过点D（ $\sqrt{3}$ ， $- \sqrt{3}$ ），则a－b＋c的值为．

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 36 ° ， ∠ B A C = 117 °$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ 于点 $D ， C O$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，连接 $O D$ ，过 $O$ 作 $O E ⊥ A B$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 延长线于点 $F$ ．则下列四个结论，其中一定正确的是．（填写正确序号）
① $∠ A O C = 45 °$ ；② $\frac{A C}{B C} = \frac{O E}{B E}$ ；③ $∠ C O D = ∠ B$ ；④ $B C - A C = A F$ ．

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = c$ ， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $∠ A = 60 °$ ，角平分线 $B D$ 、 $C E$ 交于点 $O$ ， $O F ⊥ A B$ 于点 $F$ ， $O F = 2$ ．下列结论：①点 $O$ 在 $∠ A$ 的平分线上；② $∠ B O C = 120 °$ ；③ $A D - A E = E F$ ；④ $S_{△ A B C} = a + b + c$ ，其中正确的结论是（填序号）

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三、解答题

9. 如图，O是 $△ A B M$ 内一点， $O B = O M$ ， $∠ B A M = α$ ， $∠ B O M = β$ ．

(1)、已知， $△ A B C$ 为等边三角形．
①如图1，若点C与点M重合，请补充条件： $β =$ ______°，可得结论： $O A = O B = O M$ ；
②如图2，若点C在边 $A M$ 上，在①补充的条件下，结论 $O A = O B = O M$ 是否仍成立？并说明理由；

(2)、如图3，请探究当 $α$ 与 $β$ 之间满足什么数量关系时，结论 $O A = O B = O M$ 仍然成立，并说明理由．

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10. 如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°.

(1)、求∠ACE的度数；

(2)、求证：AE平分∠CAF；

(3)、求∠AEB的度数；

(4)、若AC+CD=14，AB=8.5，且S_△_ACD=21，求△ABE的面积.

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11. 请阅读以下材料，并解决问题：

探索角平分仪

素材1

图1是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.

素材2

图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽.四根棒在O处相连并可绕O点转动，点A，B，C，D固定，点E，F可以在凹槽处滑动，且OA=OC，OB=OD，AE=CE，BF=DF.

图5中的“三等分角仪”满足OA=OC=OB=OD=AE=CE=BF=DF.

(1)、如图2，已知AB=AD，BC=DC，求证：AE平分∠BAD；

(2)、如图4，已知OA=OC，OB=OD，AE=CE，BF=DF.若∠AOD=120°，则∠DOC=°；

(3)、利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点E与点F之间的距离等于OA时，可求得∠AOD的度数.在图6中，已知OA=OC=OB=OD=AE=CE=BF=DF，且点E与点F之间的距离等于OA，请求出∠AOD的度数.

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = B C, A D ⊥ C E, B E ⊥ C E$ ，垂足分别为D ， E ．

(1)、求证： $D C = E B$ ；

(2)、若点F是AB的中点，连接CF ， FD ，并延长FD交BC于点G ，如果 $∠ D A C = α$ ，求 $∠ B G F$ 的度数（用含 $α$ 的式子表示）；

(3)、在（2）的条件下，若 $D E = 2 B E$ ，求 $△ C D F$ 的面积 $S_{1}$ 与 $△ A D F$ 的面积 $S_{2}$ 之比．

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13. 如图，已知在△ABC中，AB＞AC，BD，CE是△ABC的高，点M在高BD上，BM=AC.

(1)、如图(1)，求证∠ABD=∠ACE；

(2)、如图(2)，点N在CE的延长上，CN=AB，求证AN⊥AM；

(3)、如图(3)，P是△ABC外一点，∠P=∠B，∠BAC+∠PAC=180°，求证PC=BC.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $A (m ， m + 1)$ 在第一象限，点 $B$ 在 $x$ 轴的负半轴上， $A B$ 交 $y$ 轴于 $D$ ， $A C$ 交 $x$ 轴于 $E$ ， $∠ O D E = 2 ∠ A E D$ ，点 $F$ 在 $y$ 轴上，且在点 $D$ 的上方．

(1)、如图1，求证： $D A$ 平分 $∠ E D F$ ；

(2)、如图2，连接 $O A$ ，求证： $A O = A E$ ；

(3)、直接写出点 $C$ 的坐标（用含 $m$ 的式子表示）．

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15. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， E为 $A B$ 的中点， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ．

(1)、求证： $C E$ 平分 $∠ B C D$ ；

(2)、如图2，若将“ $∠ A = ∠ B = 90 °$ ”改为“ $∠ A + ∠ B = 180 °$ ”，其他条件不变． $B C = 5 + m$ ， $C D = 7 + m$ ，则 $A D =$ ________．

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16. 如图1，线段 $A D ∥ B C$ ，连接 $A B$ ， $C D$ ，取 $C D$ 的中点E，连接 $A E$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ．

(1)、线段 $A B$ ， $A D$ ， $B C$ 之间存在怎样的等量关系？请写出并证明你的结论．

(2)、如图2，如果点C在 $A B$ 的左侧，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并给予证明．

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17. 如图，在 $∠ A O B$ 的两边 $O A$ ， $O B$ 上分别取点M，N，连接 $M N$ ．若 $M P$ 平分 $∠ A M N$ ， $N P$ 平分 $∠ M N B$ ．

(1)、求证： $O P$ 平分 $∠ A O B$ ；

(2)、若 $M N = 8$ ，且 $△ P M N$ 与 $△ O M N$ 的面积分别是16和24，求线段 $O M$ 与 $O N$ 的长度之和．

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四、实践探究题

18. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ A C$ 于点 $C$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 的延长线于点 $E$ ．由 $∠ B A C + ∠ D A E = ∠ D A E + ∠ D = 90 °$ ，得 $∠ B A C = ∠ D$ ．又 $∠ A C B = ∠ A E D = 90 °$ ， $A B = A D$ ，可以推理得到 $△ A B C ≌ △ D A E$ ，进而得到 $A C =$ ______， $B C =$ ______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 为平面内任一点，点 $B$ 的坐标为 $(5, 1)$ ，若 $△ A O B$ 是以 $O B$ 为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标．
【深入探究】
（3）如图3， $∠ B A D = ∠ C A E = 90 °$ ， $A B = A D$ ， $A C = A E$ ，连接 $B C$ 、 $D E$ ，且 $B C ⊥ A F$ 于点F， $D E$ 与直线 $A F$ 交于点 $G$ ，求证：点 $G$ 是 $D E$ 的中点．

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