2015-2016学年山东省淄博市淄川一中高二上学期期末数学模拟试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-13 类型：期末考试

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一、选择题

1. 在复平面内，复数 $\frac{1 + i}{i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4}$ ﹣x²=1的一条渐近线的方程为（）

A、y=2x B、y=4x C、y= $\frac{1}{2}$ x D、y= $\frac{1}{4}$ x

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3. 在等比数列{a_n}中，a₂+a₄=4，a₃+a₅=8，则a₅+a₇=（）

A、32 B、16 C、64 D、128

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4. 原命题：“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac²＞bc²”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有（　　）个．

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5. 已知数列a_n= $\frac{1}{4 n^{2} - 1}$ （n∈N^*），则数列{a_n}的前10项和为（）

A、 $\frac{20}{21}$ B、 $\frac{18}{19}$ C、 $\frac{10}{21}$ D、 $\frac{9}{19}$

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6. 在各项均为正数的等比数列{a_n}中，若a₅a₆=9，则log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₁₀=（）

A、12 B、2+log₃5 C、8 D、10

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7. 设数列{a_n}满足a₁+ $\frac{a_{2}}{2}$ + $\frac{a_{3}}{3}$ +…+ $\frac{a_{n}}{n}$ =1﹣ $\frac{1}{2^{n}}$ ，则a_n=（）

A、1﹣ $\frac{1}{2^{n}}$ B、 $\frac{1}{2^{n - 3}}$ C、 $\frac{1}{2^{n}}$ D、 $\frac{n}{2^{n}}$

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8. 过抛物线y²=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、2 $\sqrt{2}$

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9. 设a、b是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）

A、a³+b³＞a²b+ab² B、 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} \geq a + \frac{1}{a}$ C、 $| a - b | + \frac{1}{a - b} \geq 2$ D、 $\sqrt{a + 3} - \sqrt{a + 1} \leq \sqrt{a + 2} - \sqrt{a}$

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10. 点P是双曲线 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣y²=1的右支上一点，M、N分别是（x+ $\sqrt{5}$ ）²+y²=1和（x﹣ $\sqrt{5}$ ）²+y²=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、填空题

11. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \geq 0 \\ x \geq - 2 \\ x + y \geq 1 \end{matrix}$ ，则x²+y²的最小值是

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12. 如图所示的平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D中，AB=AD=AA₁=1，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，则CA₁的长= ．

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13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的焦点为F₁ ， F₂ ，点P在椭圆上，若|PF₁|=4，∠F₁PF₂的大小为．

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14. 已知x＞0，观察下列几个不等式： $x + \frac{1}{x} \geq 2$ ； $x + \frac{1}{x^{2}} \geq 3$ ； $x + \frac{27}{x^{3}} \geq 4$ ； $x + \frac{256}{x^{4}} \geq 5$ ；…；归纳猜想一般的不等式为．

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15. 已知等差数列{a_n}的公差d不等于0，S_n是其前n项和，给出下列命题：
①给定n（n≥2，且n∈N^*），对于一切k∈N^*（k＜n），都有a_n_﹣_k+a_n+k=2a_n成立；
②存在k∈N^* ，使得a_k﹣a_k+1与a_2k+1﹣a_2k_﹣₃同号；
③若d＞0．且S₃=S₈ ，则S₅与S₆都是数列{S_n}中的最小项
④点（1， $\frac{S_{1}}{1}$ ），（2， $\frac{S_{2}}{2}$ ），（3， $\frac{S_{3}}{3}$ ），…，（n， $\frac{S_{n}}{n}$ ）（n∈N^*），…，在同一条直线上．
其中正确命题的序号是．（把你认为正确的命题序号都填上）

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三、解答题

16. 已知命题p：∀x∈[1，2]，x²﹣m≥0，命题q：∀x∈R，x²+mx+1＞0，若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．

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17. 如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=AC=2，AA₁=3，D为BC中点，

(1)、证明：A₁C∥平面B₁AD；

(2)、求二面角B₁﹣AD﹣B的余弦值．

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18. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₁=1，当n≥2时，S_n=2a_n ．

(1)、求证数列{a_n}为等比数列，并求出a_n的通项公式；

(2)、设若b_n=a_n+1﹣1，设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n ，求T_n ．

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19. 某学校拟在广场上建造一个矩形花园，如图所示，中间是完全相同的两个椭圆型花坛，每个椭圆型花坛的面积均为216π平方米，两个椭圆花坛的距离是1.5米．整个矩形花坛的占地面积为S．
（注意：椭圆面积为πab，其中a，b分别为椭圆的长短半轴长）

(1)、根据图中所给数据，试用a、b表示S；

(2)、当椭圆形花坛的长轴长为多少米时，所建矩形花园占地最少？并求出最小面积．

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20. 已知直线x+y﹣1=0与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相交于A，B两点，线段AB中点M在直线 $l ： y = \frac{1}{2} x$ 上．

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x²+y²=1上，求椭圆的方程．

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21. 已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100．

(1)、求数列{b_n}的通项b_n；

(2)、设数列{a_n}的通项a_n=log_a（1+ $\frac{1}{b_{n}}$ ），a＞0，且a≠1，记S_n是数列{a_n}的前n项的和．试比较S_n与 $\frac{1}{2}$ log_ab_n+1的大小，并证明你的结论．

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