2015-2016学年湖南省衡阳四中高一上学期期末数学模拟试卷（二）

试卷更新日期：2016-10-13 类型：期末考试

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一、选择题

1. 若A={x|x²=1}，B={x|x²﹣2x﹣3=0}，则A∩B=（）

A、3 B、1 C、∅ D、﹣1

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2. 下列幂函数在定义域内是单调递增的奇函数的是（　　）

A、y= $x^{\frac{1}{2}}$ B、y= $x^{4}$ C、y= $x^{3}$ D、y= $x^{\frac{2}{3}}$

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3. 已知函数f（log₄x）=x，则 $f (\frac{1}{2})$ 等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4. 若两条直线ax+2y+6=0与x+（a﹣1）y+（a²﹣1）=0平行，则a的取值集合是（　　）

A、{﹣1，2} B、{﹣1} C、{2} D、{ $\frac{2}{3}$ }

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5. 设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）

A、若a，b与α所成的角相等，则α∥b B、若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C、若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β D、若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b

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6. 若圆x²+y²﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则a的值为（　　）

A、﹣2或2 B、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$ C、2或0 D、﹣2或0

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7. 如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ cm² B、 $4 \sqrt{3}$ cm² C、8cm² D、14cm²

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8. 若函数y=a^x﹣x﹣a有两个零点，则a的取值范围是（　　）

A、（1，+∞） B、（0，1） C、（0，+∞） D、∅

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9. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} 3^{- x} - 2 ， x \leq 0 \\ \frac{1}{2} \log_{3} x ， x > 0 \end{matrix}$ ，若f（m）＞1，则m的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣1） B、（9，+∞） C、（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） D、（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）

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10. 若直线y=kx+1与圆x²+y²=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k的值为（）

A、 $- \sqrt{3} 或 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{2} 或 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

11. 已知集合A={1，2^a}，B={a，b}，若A∩B={ $\frac{1}{2}$ }，则A∪B= ．

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12. 设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为．

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13. 对于一个底边在x轴上的正三角形ABC，边长AB=2，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是．

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14. 直线过点P（5，6），它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线方程为

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15. 将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中，给出下列三个命题：
①△DBC是等边三角形；
②AC⊥BD；
③三棱锥D﹣ABC的体积是 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ．
其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）

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三、解答题

16. 求经过直线l₁：7x﹣8y﹣1=0和l₂：2x+17y+9=0的交点，且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．

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17. 某汽车销售公司以每台10万元的价格销售某种品牌的汽车，可售出该品牌汽车1000台，若将该品牌汽车每台的价格上涨x%，则销售量将减少0.5x%，已知该品牌汽车每台的价格上涨幅度不超过80%，当该品牌汽车每台的价格上涨百分之几时，可使销售的总金额最大？

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18. 在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E为BB₁中点．

(1)、证明：AC⊥D₁E；

(2)、求DE与平面AD₁E所成角的正弦值；

(3)、在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD₁E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．

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19. 已知定义在（﹣1，1）上的奇函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是增函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$ ．

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、解不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0．

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20. 已知圆心为（1，1）的圆C经过点M（1，2）．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若直线x+y+m=0与圆C交于A、B两点，且△ABC是直角三角形，求实数m．

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21. 设f（x）= $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1 - a x}{x - 1}$ 为奇函数，a为常数，

(1)、求a的值；

(2)、证明f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；

(3)、若x∈[3，4]，不等式f（x）＞（ $\frac{1}{2}$ ）^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

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