2015-2016学年广西柳州市铁路一中高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-13 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x≤3，x∈R}，B={x|x﹣1≥0，x∈N}，则A∩B=（）

A、{0，1} B、{0，1，2} C、{2，3} D、{1，2，3}

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2. 若复数a²﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）

A、±1 B、﹣1 C、0 D、1

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3. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，且| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=1，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为（　　）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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4. 已知tanα= $\frac{1}{3}$ ，则 $\frac{1 + \cos 2 α}{\sin 2 α}$ =（）

A、﹣ $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、﹣3 D、3

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5. 已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989．据此估计，该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为（　　）

A、0.25 B、0.2 C、0.35 D、0.4

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6. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）

A、a₁+x₀（a₃+x₀（a₀+a₂x₀））的值 B、a₃+x₀（a₂+x₀（a₁+a₀x₀））的值 C、a₀+x₀（a₁+x₀（a₂+a₃x₀））的值 D、a₂+x₀（a₀+x₀（a₃+a₁x₀））的值

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7. 等差数列{a_n}中，a $_{7}^{2}$ =a₃+a₁₁ ， {b_n}为等比数列，且b₇=a₇ ，则b₆b₈的值为（）

A、4 B、2 C、16 D、8

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8. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x=t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 定义在R上的函数y=f（x），满足f（1﹣x）=f（x），（x﹣ $\frac{1}{2}$ ）f′（x）＞0，若x₁＜x₂且x₁+x₂＞1，则有（）

A、f（x₁）＜f（x₂） B、f（x₁）＞f（x₂） C、f（x₁）=f（x₂） D、不能确定

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10. 已知点A（0，2），抛物线C：y²=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1： $\sqrt{5}$ ，则a的值等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、4

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11. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、3π C、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ D、π

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12. 如图，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ， |F₁F₂|=8，P是双曲线右支上的一点，直线F₂P与y轴交于点A，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，若|PQ|=2，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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二、填空题

13. 在x（1+ $\sqrt{x}$ ）⁶的展开式中，含x³项系数是．（用数字作答）

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14. 已知x，y满足 ${\begin{matrix} x - y \leq 1 \\ 2 x + y \leq 4 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ ，则函数z=x+3y的最大值是．

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15. 如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有种（用数字作答）．
A
B
C
D

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16. 数列{a_n}的前n项和为S_n ， 2S_n﹣na_n=n（n∈N*），若S₂₀=﹣360，则a₂= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 $\frac{\cos B}{\cos C}$ =﹣ $\frac{b}{2 a + c}$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若a+c=2，S_△_ABC= $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求b的值．

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18. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），

(1)、求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

(2)、从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

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19. 已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．过点E的平面α垂直于平面SAC．

(1)、请作出平面α截四棱锥S﹣ABCD的截面（只需作图并写出作法）；

(2)、当SA=AB时，求二面角B﹣SC﹣D的大小．

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20. 已知F₁ ， F₂是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（﹣1， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）在椭圆上，且 $\vec{P F_{1}}$ • $\vec{F_{1} F_{2}}$ =0，⊙O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、当 $\vec{O A}$ • $\vec{O B}$ =λ，且满足 $\frac{2}{3}$ ≤λ≤ $\frac{3}{4}$ 时，求弦长|AB|的取值范围．

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21. 已知函数g（x）=aln x，f（x）=x³+x²+bx．

(1)、若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；

(2)、若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．

(1)、当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；

(2)、若f（x）≤|x﹣3|的解集包含[0，1]，求实数a的取值范围．

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