2015-2016学年福建省八县一中高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-13 类型：期末考试

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一、选择题

1. 命题：“若x²＞1，则x＜﹣1或x＞1”的逆否命题是（）

A、若x²＞1，则﹣1≤x≤1 B、若﹣1≤x≤1，则x²≤1 C、若﹣1＜x＜1，则x²＜1 D、若x＜﹣1或x＞1，则x²＞1

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2} + 5} - \frac{y^{2}}{4 - m^{2}}$ =1的焦距是（）

A、4 B、2 $\sqrt{5}$ C、6 D、与m有关

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3. 以正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的顶点D为坐标原点O，如图建立空间直角坐标系，则与 $\vec{D B_{1}}$ 共线的向量的坐标可以是（）

A、（2，﹣2，2） B、（﹣2，﹣2，2） C、（﹣2，2，2） D、（﹣2，﹣2，﹣2）

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4. 直线l：2x﹣y+2=0过椭圆左焦点F₁和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. “点P的轨迹方程为y=|x|”是“点P到两条坐标轴距离相等”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、不充分不必要条件

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6. 已知O（0，0，0），A（2，1，1），B（1，1，﹣1），点P（λ，1，3）在平面OAB内，则λ=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示（　　）

A、甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米 B、甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米 C、甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米 D、甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米

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8. 双曲线x²﹣y²=1的两条渐近线与抛物线y²=4x交于O，A，B三点，O为坐标原点，则|AB|等于（）

A、4 B、6 C、8 D、16

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9. 在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面OAB的法向量为 $\vec{n} = (2 ， - 2 ， 1)$ ，O为坐标原点．已知P（﹣1，﹣3，8），则P到平面OAB的距离等于（）

A、4 B、2 C、3 D、1

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10. 已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若 $\vec{P F} = 4 \vec{Q F}$ ，则|QF|=（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、6

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11.
如图，在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，若AA′=2AB，则异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为（）

A、0 B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{10}$

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12. 已知集合D= ${(x ， y) | \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1}$ ，有下面四个命题：
p₁：∃（x，y）∈D， $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}}$ ≥3        p₂：∃（x，y）∈D， $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}}$ ＜1
p₃：∀（x，y）∈D， $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}}$ ＜4        p₄：∀（x，y）∈D， $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}}$ ≥2
其中的真命题是（   ）

A、p₁ ， p₃ B、p₁ ， p₄ C、p₂ ， p₃ D、p₂ ， p₄

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二、填空题

13. 如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AC与BD的交点为点M．设 $\vec{C_{1} D_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{C_{1} B_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{C_{1} C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{M B_{1}}$ ，则 $\vec{M B_{1}}$ = ．

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14. 已知p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：|x+1|≥2，命题“p∧q”为真，则实数x的取值范围是．

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15. 直线l：y=k（x+1）与抛物线y²=x只有一个公共点，则实数k的值为．

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16. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左焦点为F₁ ， P为椭圆上的动点，M是圆 $x^{2} + {(y - 2 \sqrt{5})}^{2} = 1$ 上的动点，则|PM|+|PF₁|的最大值是．

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三、解答题

17. 已知命题p：关于x的方程x²﹣ax+a+3=0有实数根，命题q：m﹣1≤a≤m+1．

(1)、若￢p是真命题，求实数a的取值范围；

(2)、若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．

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18. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的离心率为 $\sqrt{5}$ ，虚轴长为4．

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、过点（0，1），倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

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19. 如图所示，DC⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2．

(1)、求证：AF∥平面CDE；

(2)、求平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

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20. 点P在圆O：x²+y²=8上运动，PD⊥x轴，D为垂足，点M在线段PD上，满足 $\vec{P M} = \vec{M D}$ ．

(1)、求点M的轨迹方程；

(2)、过点Q（1， $\frac{1}{2}$ ）作直线l与点M的轨迹相交于A、B两点，使点Q为弦AB的中点，求直线l的方程．

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21. 如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=2，BC=2 $\sqrt{2}$ ，M，N分别是CC₁ ， BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} B_{1}}$ ．

(1)、证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；

(2)、当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值．

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22. 已知抛物线C：y²=x，过点M（2，0）作直线l：x=ny+2与抛物线C交于A，B两点，点N是定直线x=﹣2上的任意一点，分别记直线AN，MN，BN的斜率为k₁ ， k₂ ， k₃ ．

(1)、求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值；

(2)、试探求k₁ ， k₂ ， k₃之间的关系，并给出证明．

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