沪科版数学七年级下册8.1幂的运算分层练习

试卷更新日期：2025-12-07 类型：同步测试

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一、基础夯实

1. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a^{3} + 3 a^{2} = 5 a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{6}$

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2. 月季是天津市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为 $0.0000352$ 米，则数据 $0.0000352$ 用科学记数法表示为（）

A、 $3.52 \times 10^{- 5}$ B、 $0.352 \times 10^{- 5}$ ； C、 $3.52 \times 10^{- 6}$ D、 $35.2 \times 10^{- 6}$

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3. 填空：
$(1)$ ()÷(mn)=3m²；
（2）() $\cdot 3 p^{2} q^{2} = - 5 p^{3} q^{2};$
$(3)$ () ·2x=-3x²+2x-7x³；
(4)（） $\div (7 s t^{2}) = 3 s + 2 t 。$

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4. 计算： ${(π - 3)}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 3} + | - 2 |$

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5. 定义一种幂的新运算： $x^{a} \oplus x^{b} = x^{a b} + x^{a + b}$ ，请利用这种运算规则解决下列问题：

(1)、求 $2^{2} \oplus 2^{3}$ 的值；

(2)、若 $2^{p} = 3$ ， $2^{q} = 5$ ， $3^{q} = 6$ ，求 $2^{p} \oplus 2^{q}$ 的值；

(3)、若运算 $9 \oplus 3^{2 t}$ 的结果为810，则t的值是多少？

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6. 在数学中．我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题．

(1)、已知 $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ ，若 $a^{m} = 4$ ， $a^{m - n} = 2$ ，请你也利用逆向思考的方法求 $a^{n}$ 的值；

(2)、下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题．请你参考小贤的方法解答问题：
小贤的作业
计算： $8^{9} \times {(- 0.125)}^{9}$ ．
解： $8^{9} \times {(- 0.125)}^{9} = {(- 8 \times 0.125)}^{9} = {(- 1)}^{9} = - 1$ ．
计算： $5^{2025} \times {(- 0.2)}^{2024}$ ．

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二、能力提高

7. 若 $5^{a} \cdot 3^{b} = 2025$ ，则代数式 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{b}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 已知 $a = 2^{55}$ ， $b = 3^{44}$ ， $c = 4^{33}$ ， $d = 5^{22}$ ，则这四个数从小到大排列顺序是（）

A、 $a < b < c < d$ B、 $d < a < c < b$ C、 $a < d < c < b$ D、 $b < c < a < d$

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9. 已知 $a^{m} = b$ ， $b^{n} = a^{- 1}$ ， $4^{m + n} = 8$ ，下列计算结果正确的是（）
① $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = - \frac{3}{2}$ ；② $\frac{m}{n} + \frac{n}{m} = - \frac{17}{4}$ ；③ $m^{2} + n^{2} = \frac{17}{4}$ ；④ $m^{2} - n^{2} = \frac{15}{4}$

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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10. 已知 $4^{m} = 2$ ， $8^{n} = 5$ ，则 $2^{2 m + 3 n} =$ ．

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11. 规定：若实数 $a, b, c$ 满足 $a^{c} = b$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1, b > 0$ ），则记作 $[a, b] = c$ ．例如： $3^{2} = 9$ ，则 $[3, 9] = 2$ ．若 $[2, 3] = m, [2, 5] = n, [2, p] = t$ ，且 $m + n = t$ ，则 $p$ 的值是．

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12. 对实数a，b定义运算＂ $⋆$ ＂如下： $a ⋆ b = {\begin{array}{l} a^{b} (a > b, a \neq 0), \\ a^{- b} (a ⩽ b, a \neq 0), \end{array}$ ，计算 $[2 ⋆ 3] \div [(- 2) ⋆ (- 4)] =$ .

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13. 我们知道下面的结论：若 $a^{m} = a^{n} (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则 $m = n$ 。利用这个结论解决下列问题：设 $2^{m} = 3$ ， $2^{n} = 6$ ， $2^{p} = 12$ 。现给出 m，n，p 三者之间的三个关系式：
① $m + p = 2 n$ ， ② $m + n = 2 p - 3$ ， ③ $n^{2} - m p = 1$ 。其中正确的是.（填编号）

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14. 按要求计算下面各题：

(1)、已知 $3 a + 2 b = 4$ ，求 $27^{a} \cdot 9^{b}$ 的值；

(2)、已知 $2^{m} = 3$ ， $8^{n} = 6$ ，求 $2^{2 m - 3 n + 1}$ 的值．

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15. 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如： $2^{5} > 2^{3}$ ， $5^{5} > 4^{5}$ ，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如： $27^{10}$ 与 $3^{25}$ ，解： $27^{10} = {(3^{3})}^{10} = 3^{30}$ ， ∵ $30 > 25$ ， ∴ $3^{30} > 3^{25}$

(1)、比较 $25^{4}$ ， $125^{3}$ 的大小．

(2)、比较 $3^{555}$ ， $4^{444}$ ， $5^{333}$ 的大小．

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16. 我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为： $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ ；
$a^{m n} = {(a^{m})}^{n}$ ； $a^{m} b^{m} = {(a b)}^{m}$ ；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．

(1)、已知 $a = 2^{55} ， b = 3^{44} ， c = 4^{33}$ ，请把a，b，c用“ $<$ ”连接起来；

(2)、若 $x^{a} = 2 ， x^{b} = 5$ ，求 $x^{3 a + 2 b}$ 的值；

(3)、化简： $3^{100} \times 8^{102} \times {(\frac{1}{4})}^{103}$ ．

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三、创新拓展

17. 我们定义：三角形=a^b·a^c ，五角星=z·(x^m·yⁿ)；若=4，则=.

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18. 规定两数a，b之间的一种运算，记作 $(a, b)$ ：如果 $a^{c} = b$ ，那么 $(a, b) = c$ ．
例如：因为 $2^{3} = 8$ ，所以 $(2, 8) = 3$ ．

(1)、根据上述规定，填空： $(4, 16) =$ ， $(8, 1) =$ ，（， $\frac{1}{9}$ ）=-2．

(2)、小明在研究这种运算时发现一个特征： $(3^{n}, 4^{n}) = (3, 4)$ ，小明给出了如下的证明：
设 $(3^{n}, 4^{n}) = x$ ，则 ${(3^{n})}^{x} = 4^{n}$ ，即 ${(3^{x})}^{n} = 4^{n}$
所以 $3^{x} = 4$ ，即 $(3, 4) = x$ ，
所以 $(3^{n}, 4^{n}) = (3, 4)$ ．
试解决下列问题：
①计算 $(32, 100000) - (8, 1000)$
②请尝试运用这种方法证明 $(2024, 15) = (2024, 3) + (2024, 5)$ ．

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19. 规定两数a ， b之间的一种运算，记作 $（ a ， b ）$ ，如果 $a^{m} ＝ b$ ，则 $（ a ， b ）＝ m$ ．我们叫 $（ a ， b ）$ 为“雅对”．例如：因为 $2^{3} ＝ 8$ ，所以 $（ 2 ， 8 ）＝ 3$ ．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 $（ 3 ， 3 ） + （ 3 ， 5 ）＝（ 3 ， 15 ）$ 成立．证明如下：
设 $（ 3 ， 3 ）＝ m$ ， $（ 3 ， 5 ）＝ n$ ，则 $3^{m} ＝ 3$ ， $3^{n} ＝ 5$ ，故 $3^{m} \cdot 3^{n} ＝ {3^{m}}^{+ n} ＝ 3 \times 5 ＝ 15$ ，则 $（ 3 ， 15 ）＝ m + n$ ，即 $（ 3 ， 3 ） + （ 3 ， 5 ）＝（ 3 ， 15 ）$ ．

(1)、根据上述规定，填空： $（ 5 ， 125 ）$ ＝；（， 16）＝4；

(2)、计算 $（ 5 ， 2 ） + （ 5 ， 7 ）$ ＝，并说明理由；

(3)、利用“雅对”定义说明： $（ 2^{n} ， 3^{n} ）＝（ 2 ， 3 ）$ ，对于任意非0整数n都成立．

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20. 比较两个数大小的方法有很多种，比如：

(1)、可以把它们的底数变成相同的数．
例如，比较 $4^{10}$ 与 $8^{7}$ 的大小：
$∵ 4^{10} = {(2^{2})}^{10} = 2^{20} ， 8^{7} = {(2^{3})}^{7} = 2^{21} ，又∵ 20<21 ， ∴ 2^{20} < 2^{21} ，即 4^{10} < 8^{7} ．$

(2)、也可以把它们的指数变成相同的数．
例如，比较 $2^{100}$ 与 $3^{75}$ 的大小：
$∵ 2^{100} = {(2^{4})}^{25} = 16^{25} ， 3^{75} = {(3^{3})}^{25} = 27^{25} ，又∵ 16<27 ， ∴ 16^{25} < 27^{25} ，即 2^{100} < 3^{75} ．$
利用以上方法比较大小：

(3)、 $9^{14}$ 与 $27^{9}$ ．

(4)、 $3^{555} ， 4^{444}$ 与 $5^{333}$ ．

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21. 下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算： $4^{5} \times {(- 0.25)}^{5}$ ；
解：原式 $= {(- 4 \times 0.25)}^{5} = {(- 1)}^{5} = - 1$

(1)、计算：
① $8^{2022} \times {(- 0.125)}^{2022}$ ；
② ${(\frac{12}{5})}^{11} \times {(\frac{5}{6})}^{13} \times {(\frac{1}{2})}^{12}$ ；

(2)、若 $3 \times 9^{n} \times 8 1^{n} = 3^{25}$ ，请求出 $n$ 的值．

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22. 阅读材料：
求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{2025}$ 的值.
解：设，①将等式两边同时乘2，得
$2 S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + \dots + 2^{2025} + 2^{2026}$ ， ②，② $- ①$ ，得 $2 S - S = 2^{2026} - 1$ ，
即 $S = 2^{2026} - 1$ ，则 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{2025} = 2^{2026} - 1$ .
请你仿照此法计算：

(1)、 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{10}$ .

(2)、 $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + \dots + 3^{n}$ (其中 $n$ 为正整数).

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23. 阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘 $\underset{n 个}{\underset{⏟}{a \cdot a \dots a}}$ ，记为aⁿ ．如 $2 \times 2 \times 2 = 2^{3} = 8$ ，此时，3叫做以2为底8的对数，记为 $l o g_{2} 8$ （即 $l o g_{2} 8$ =3）．
一般地，若 $a^{n} = b$ （a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为 $l o g_{a} b$ （即 $l o g_{a} b$ =n）．如 $3^{4} = 81$ ，则4叫做以3为底81的对数，记为 $l o g_{3} 81$ （即 $l o g_{3} 81$ =4）．

(1)、计算以下各对数的值： $l o g_{2} 4$ =_________， $l o g_{2} 16$ =_________， $l o g_{2} 64$ =_________．

(2)、写出（1） $l o g_{2} 4$ 、 $l o g_{2} 16$ 、 $l o g_{2} 64$ 之间满足的关系式_________________________；

(3)、由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：
$l o g_{a} M + l o g_{a} N$ =_________ ．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

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