河北省廊坊市省级示范高中联合体2016-2017学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-12-15 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知复数z= $\frac{3 i - 5}{4 + 7 i}$ ，则复数z的虚部为（）

A、 $\frac{1}{65}$ B、﹣ $\frac{47}{65}$ C、 $\frac{47}{65}$ D、 $\frac{47}{65} i$

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2. 已知集合A={1，3，5，7}，B={x|（2x﹣1）（x﹣5）＞0}，则A∩（∁_RB）（）

A、{1，3} B、{1，3，5} C、{3，5} D、{3，5，7}

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3. $\int_{0}^{1}$ （e^x+2x）dx等于（）

A、1 B、e﹣1 C、e D、e+1

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4. 下列关于回归分析的说法中错误的是（）

A、回归直线一定过样本中心（ $\bar{x} ， \bar{y}$ ） B、残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 C、两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 D、甲、乙两个模型的R²分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好

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5. 已知实数a，b，c，满足a=log₂257，b=2^2.6 ， c= ${(\frac{1}{4})}^{- \frac{\sqrt{3}}{3}}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、c＜b＜a D、b＜c＜a

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6. 在A、B、C、D、E、F六个人中任选三人参加比赛，其中A和E不能同时参加比赛，B和C两人要么都参加比赛，要么都不参加，则不同的参赛方案有（）

A、4种 B、6种 C、8种 D、10种

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7. 设随机变量ξ服从正态分布N（4，3），若P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），则实数a等于（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. （2x+ $\sqrt{3}$ ）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴ ，则（a₀+a₂+a₄）²﹣（a₁+a₃）²的值为（）

A、1 B、﹣1 C、0 D、2

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9. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（　　）种．

A、27 B、30 C、33 D、36

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10. 将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（　　）

A、 $\frac{60}{91}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{18}$ D、 $\frac{91}{216}$

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11. 下列说法中，正确的个数是（）
①函数f（x）=2^x﹣x²的零点有2个；
②函数y=sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）sin（ $\frac{π}{6}$ ﹣2x）的最小正周期是π；
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是真命题；
④ $\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}}$ dx= $\frac{π}{2}$ ．

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 已知函数f（x）=x³+ax²+bx有两个极值点x₁、x₂ ，且x₁＜x₂ ，若x₁+2x₀=3x₂ ，函数g（x）=f（x）﹣f（x₀），则g（x）（）

A、恰有一个零点 B、恰有两个零点 C、恰有三个零点 D、至多两个零点

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二、填空题

13. 现有这么一列数，2， $\frac{3}{2}$ ， $\frac{5}{4}$ ， $\frac{7}{8}$ ，（）， $\frac{13}{32}$ ， $\frac{17}{64}$ ，…，按照规律，（）中的数应为．

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14. 若（1﹣8x⁵）（ax²﹣ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）⁴的展开式中含x³项的系数是16，则a= ．

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15. 甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是 $\frac{2}{3}$ ，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（用分数作答）．

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16. 已知函数f（x）=log $_{\frac{1}{e}}$ （x²+ $\frac{1}{e}$ ）﹣| $\frac{x}{e}$ |，则使得f（x+1）＜f（2x﹣1）成立x的范围是．

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三、解答题

17. 设函数f（x）=x²+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．

(1)、用g（x）表示f（x）的最小值，求g（a）的解析式；

(2)、在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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18. 为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试．
（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．

优秀人数
非优秀人数
总计
甲班

乙班

30

总计
60

（Ⅱ）现已知A，B，C三人获得优秀的概率分别为 $\frac{1}{2} ， \frac{1}{3} ， \frac{1}{3}$ ，设随机变量X表示A，B，C三人中获得优秀的人数，求X的分布列及期望E（X）．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，n=a+b+c+d
P（K²＞k₀）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
k₀
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879

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19. 为了解某校学生假期日平均数学学习时间情况，现随机抽取500名学生进行调查，由调查结果得如下频率分布直方图
（Ⅰ）求这500名学生假期日平均数学学习时间的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差s²（同一组中的数据用该组的中点值做代表）．
（Ⅱ）由直方图认为该校学生假期日平均数学学习时间X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，σ²近似为样本的方差s² ，
（i）利用该正态分布，求P（100＜X≤122.8）；
（ii）若随机从该校学生中抽取200名学生，记ξ表示这200名学生假期日平均数学学习时间位于（77.2，122.8）的人数，利用（i）的结果，求E（ξ）
附： $\sqrt{130}$ ≈11.4，
若X～N（μ，σ²），则p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．

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20. 已知函数f（x）=lnx+ $\frac{1 - x}{a x}$ ，（a＞0）

(1)、当a=2时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；

(2)、若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；

(3)、求函数f（x）在区间[1，2]的最小值．

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21. 已知函数f（x）=xlnx﹣ax²+（2a﹣1）x，a∈R．

(1)、令g（x）为f（x）的导函数，求g（x）单调区间；

(2)、已知函数f（x）在x=1处取得极大值，求实数a取值范围．

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四、解答题

22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 - t \\ y = 1 + t \end{matrix}$ （t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2 $\sqrt{2}$ cos（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

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五、解答题

23. 已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．

(1)、若f（1）＜3，求实数a的取值范围；

(2)、若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．

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P（K²＞k₀）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

	优秀人数	非优秀人数	总计
甲班
乙班		30
总计	60