2015-2016学年山西省晋中市太谷二中高一下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2016-10-12 类型：期中考试

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一、选择题

1. ﹣300°化成弧度制为（）

A、 $\frac{10 π}{3}$ B、- $\frac{5 π}{6}$ C、- $\frac{5 π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{3}$

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2. 如果cos（π﹣A）=﹣ $\frac{1}{2}$ ，那么sin（ $\frac{π}{2}$ +A）的值是（）

A、- $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 如果角θ的终边经过点（﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2}$ ），则tanθ=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、- $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 若 $\frac{1 + \sin x}{\cos x}$ =﹣ $\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\cos x}{\sin x - 1}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、2 D、﹣2

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5. 已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ = $\vec{b}$ ，则 $\vec{B E}$ =（）

A、 $\vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}$ B、 $\vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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6. 已知 $\vec{a}$ =（5，﹣2）， $\vec{b}$ =（﹣4，3）， $\vec{c}$ =（x，y），若 $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ +2 $\vec{c}$ =0，则 $\vec{c}$ 等于（）

A、（1，4） B、（ $\frac{13}{2}$ ，4） C、（﹣ $\frac{13}{2}$ ，4） D、（﹣ $\frac{13}{2}$ ，﹣4）

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7. 已知平面向量 $\vec{a}$ =（3，1）， $\vec{b} = (x ， - 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则x=（）

A、﹣3 B、﹣1 C、3 D、1

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8. 若 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{P B}$ ， $\vec{A B} = λ \vec{B P}$ ，则实数λ的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、- $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、﹣ $\frac{4}{3}$

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9. 为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y= $\sqrt{2}$ cos3x的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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10. α，β都是锐角，且 $\sin α = \frac{5}{13}$ ， $\cos (α + β) =- \frac{4}{3}$ ，则sinβ的值是（）

A、 $\frac{33}{65}$ B、 $\frac{16}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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11. 函数f（x）=2sin（2x+ $\frac{π}{4}$ ）的周期、振幅、初相分别是（）

A、 $\frac{π}{4}$ ，2， $\frac{π}{4}$ B、π，﹣2，﹣ $\frac{π}{4}$ C、π，2， $\frac{π}{4}$ D、2π，2， $\frac{π}{4}$

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12. 已知不等式 $f (x) = 3 \sqrt{2} \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} + \sqrt{6} \cos^{2} \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2} - m \leq 0$ 对于任意的 $- \frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{π}{6}$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $m \geq \sqrt{3}$ B、 $m \leq \sqrt{3}$ C、 $m \leq - \sqrt{3}$ D、. $- \sqrt{3} \leq m \leq \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知| $\vec{a}$ |=3，| $\vec{b}$ |=5， $\vec{a} \cdot \vec{b}$ =12，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为．

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14. 函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为．

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15. 若cos（α+β）= $\frac{1}{5}$ ，cos（α﹣β）= $\frac{3}{5}$ ，则tanαtanβ= ．

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16. 给出下列五个命题：
①x= $\frac{5 π}{12}$ 是函数y=2sin（2x﹣ $\frac{π}{3}$ ）的一条对称轴；
②函数y=tanx的图象关于点（ $\frac{π}{2}$ ，0）对称；
③正弦函数在第一象限为增函数
④函数y=cos（x﹣ $\frac{π}{3}$ ）的一个单调增区间是（﹣ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2}$ ）
以上四个命题中正确的有（填写正确命题前面的序号）

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三、解答题

17. 计算：sin50°（1+ $\sqrt{3}$ tan10°）．

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18. 已知sinα=2cosα，求：

(1)、 $\frac{\sin α - 3 \cos α}{5 \sin α + 2 \cos α}$

(2)、sin²α+2sinαcosα﹣cos²α

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19. 已知| $\vec{a}$ |=4，| $\vec{b}$ |=3，（2 $\vec{a}$ ﹣3 $\vec{b}$ ）•（2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）=61，

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角θ；

(3)、求| $\vec{a} + \vec{b}$ |的值．

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20. 已知向量 $\vec{a}$ =（cos $\frac{3}{2}$ x，sin $\frac{3}{2}$ x）， $\vec{b}$ =（cos $\frac{x}{2}$ ，﹣sin $\frac{x}{2}$ ），且x∈[﹣ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{4}$ ]

(1)、求 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ 及| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |；

(2)、若f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ ﹣| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |，求f（x）的最大值和最小值．

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21. 已知函数y=sin²x+sin2x+3cos²x，求

(1)、函数的最小值及此时的x的集合．

(2)、函数的单调减区间．

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22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ ， $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求tan（α+β）的值；

(2)、求α+2β的值．

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