2015-2016学年江西省抚州市南城一中高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-12 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x²﹣3x＜0}，B={1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是（）

A、（0，3） B、（0，1）∪（1，3） C、（0，1） D、（﹣∞，1）∪（3，+∞）

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2. 若复数z=（cosθ﹣ $\frac{4}{5}$ ）+（sinθ﹣ $\frac{3}{5}$ ）i是纯虚数（i为虚数单位），则tan（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）的值为（）

A、7 B、 $- \frac{1}{7}$ C、﹣7 D、﹣7或 $- \frac{1}{7}$

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3.
如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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4. 下列命题中真命题的个数为（）
①命题“若lgx=0，则x=l”的逆否命题为“若lgx≠0，则x≠1”
②若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题
③命题p：∃x∈R，使得sinx＞l；则￢p：∀x∈R，均有sinx≤1
④“x＞2”是“ $\frac{1}{x}$ ＜ $\frac{1}{2}$ ”的充分不必要条件．

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A、 $\frac{19}{20}$ B、 $\frac{20}{21}$ C、 $\frac{21}{22}$ D、 $\frac{22}{23}$

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6. ∫ $_{0}^{3}$ |x²﹣4|dx=（）

A、 $\frac{21}{3}$ B、 $\frac{22}{3}$ C、 $\frac{23}{3}$ D、 $\frac{25}{3}$

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7. 甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）

A、1 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中一、二、三、四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中一年级的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰后2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（　　）

A、24种 B、18种 C、48种 D、36种

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9. 设F₁ ， F₂为椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5}$ =1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF₁的中点在y轴上，则 $\frac{| \vec{P F_{2}} |}{| \vec{P F_{1}} |}$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{14}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{5}{9}$

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10. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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11. 已知函数f（x）=x²﹣x﹣ $\frac{4 x}{x - 1}$ （x＜0），g（x）=x²+bx﹣2（x＞0），b∈R，若f（x）图象上存在A，B两个不同的点与g（x）图象上A′，B′两点关于y轴对称，则b的取值范围为（）

A、（﹣4 $\sqrt{2}$ ﹣5，+∞） B、（4 $\sqrt{2}$ ﹣5，+∞） C、（﹣4 $\sqrt{2}$ ﹣5，1） D、（4 $\sqrt{2}$ ﹣5，1）

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12. 已知直线x﹣9y﹣8=0与曲线C：y=x³﹣px²+3x相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为（）

A、4 B、4或﹣3 C、﹣3或﹣1 D、﹣3

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二、填空题

13. 已知单调递减的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂ ， a₄是等差中项，则公比q= ，通项公式为a_n= ．

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14. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sinxcosx﹣cos²x﹣ $\frac{1}{2}$ ，x∈R，则函数f（x）的最小值为，函数f（x）的递增区间为．

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15. （x²+ $\frac{1}{x^{2}}$ ﹣2）ⁿ展式中的常数项是70，则n= ．

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16. 对于函数f（x）给出定义：
设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀ ，则称点（x₀ ， f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．
某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} + 3 x - \frac{5}{12}$ ，请你根据上面探究结果，计算
$f (\frac{1}{2017}) + f (\frac{2}{2017}) + f (\frac{3}{2017}) + \dots + f (\frac{2016}{2017})$ = ．

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三、解答题

17. 如图，在△ABC中，点D在BC边上， $∠ C A D = \frac{π}{4} ， A C = \frac{7}{2}$ ， $\cos ∠ A D B = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ．

(1)、求sin∠C的值；

(2)、若BD=5，求△ABD的面积．

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18. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）
几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50

(1)、能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

(2)、经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5﹣7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6﹣8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．

(3)、现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式：
P（K²≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

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19. 数列{a_n}满足S_n=2n﹣a_n（n∈N^*）．

(1)、计算a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ，并由此猜想通项公式a_n；

(2)、用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

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20. 已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA⊥底面ABCD，△ABM是边长为2的等边三角形， $P A = D M = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证：平面PAM⊥平面PDM；

(2)、若点E为PC中点，求二面角P﹣MD﹣E的余弦值．

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21. 已知椭圆 $W ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其左顶点A在圆O：x²+y²=16上．

(1)、求椭圆W的方程；

(2)、若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得 $\frac{| P Q |}{| A P |} = 3$ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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22. 已知函数f（x）= $\frac{1 + \ln (x + 1)}{x}$ （x＞0）．

(1)、试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；

(2)、若f（x）＞ $\frac{k}{x + 1}$ 恒成立，求整数k的最大值；

(3)、求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e²ⁿ^﹣³ ．

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	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828