广东省广州市第十六中学2025-2026学年高二上学期高中中段教学质量反馈数学试题

试卷更新日期：2025-11-28 类型：期中考试

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一、单选题（共40分，每题5分）

1. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是（）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(- \frac{2}{3}, - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

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2. 已知直线l过直线 $x - 2 y = 0$ 与直线 $x + y + 3 = 0$ 的交点，且与直线 $3 x + y - 1 = 0$ 平行，则直线l的方程为（）

A、 $3 x + y + 7 = 0$ B、 $3 x + y - 7 = 0$ C、 $3 x + y + 3 = 0$ D、 $3 x + y - 3 = 0$

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3. 设向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{e_{3}}$ 不共面，已知 $\vec{A B} = - 3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} + 2 \vec{e_{3}}$ ， $\vec{B C} = \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}} - 6 \vec{e_{3}}$ ， $\vec{C D} = 4 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} + 8 \vec{e_{3}}$ ，若 $A$ ， $C$ ， $D$ 三点共线，则 $λ =$ （）

A、1 B、0 C、3 D、2

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4. 如图，已知空间四边形 $O A B C$ ，其对角线 $A C, O B, M$ 是 $B C$ 边上一点，且 $B M = 3 M C$ ， $G$ 为 $A M$ 的中点，若 $\vec{O G} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{8} \vec{O B} + m \vec{O C}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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5. 如图，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ，四边形 $A B E F$ 为正方形，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ D A B = 60 °$ ，则直线 $A E, D B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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6. 已知点 $A, B$ 的坐标分别为 $(2, 0), (- 1, 4), P$ 为动点，且 $△ P A B$ 的面积总为10，则动点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $4 x + 3 y - 12 = 0$ B、 $4 x + 3 y + 12 = 0$ C、 $4 x + 3 y - 12 = 0$ 或 $4 x + 3 y + 28 = 0$ D、 $4 x + 3 y + 12 = 0$ 或 $4 x + 3 y - 28 = 0$

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7. 过点 $(2 \sqrt{2}, 0)$ 作直线 $l$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，当 $△ A O B$ 的面积取最大值时，直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \sqrt{3}$

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8. 在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是 $A A_{1}$ 的中点，P是底面 $A B C D$ 所在平面内一动点，设 $P D_{1}$ ， $P E$ 与底面 $A B C D$ 所成的角分别为 $θ_{1} ， θ_{2}$ （ $θ_{1} ， θ_{2}$ 均不为0），若 $θ_{1} = θ_{2}$ ，则三棱锥 $P - B B_{1} C_{1}$ 体积的最小值是

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{4}$

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二、多选题（共18分，每题6分）

9. 下列说法正确的是（）

A、经过点 $P (1, 1)$ ，倾斜角为 $θ$ 的直线方程为 $y - 1 = \tan θ (x - 1)$ B、“ $a = - 4$ ”是“直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $8 x + a y + 2 - a = 0$ 平行”的充要条件 C、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$ D、以 $A (4, 1)$ ， $B (1, - 2)$ 为直径端点的圆的方程为 $(x - 4) (x - 1) + (y - 1) (y + 2) = 0$

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10. 已知点 $P (x, y)$ 是圆 $M :$ ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上任意一点，直线 $l$ ： $y = - x + 2$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴相交于点 $A, B$ ，则（）

A、直线 $l$ 与圆 $M$ 相离 B、 $△ P B A$ 面积的最小值为 $4 + 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{y}{x}$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$ D、 $∠ P B A$ 的最小值为 $15^{°}$

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别是棱 $A_{1} B_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，点P为线段CM上的动点，则（）

A、平面CMN截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面形状是五边形 B、向量 $\vec{B N}$ 在向量 $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ 上的投影向量的模为 $\frac{2}{3}$ C、存在点P，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90 °$ D、点P到棱 $D D_{1}$ 距离的最小值为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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三、填空题（共15分，每题5分）

12. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y = 0$ ，则两圆公共弦所在直线的方程为．

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13. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4, E, F$ 分别为 $A_{1} D_{1}, B B_{1}$ 的中点， $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心，则点 $O$ 到平面 $E F C$ 的距离为.

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14. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 和定点 $A (1, 2)$ ，若点P、Q分别为圆O外和圆O上两点，且满足 $\vec{O Q} \cdot \vec{P Q} = 0$ ， $∣ \vec{P Q} ∣ = ∣ \vec{P A} ∣$ ，则 $\vec{P O} \cdot \vec{P Q}$ 的最小值为．

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四、解答题（共77分）

15. 已知直线l： $(a - 1) y = (2 a - 3) x + 1$ ．

(1)、求证：直线l过定点；

(2)、若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．

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16. 在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{c}| = 4$ ， $∠ A O B = 60 °$ 、 $∠ C O B = 90 °$ 、 $∠ A O C = 120 °$ ，点 $D$ 在棱 $B C$ 上，且 $B D : D C = 1 : 2$ .

(1)、计算 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 的值；

(2)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{A D}$ ；

(3)、在线段 $A D$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $O P ⊥ B C$ ？若存在，求 $A P : P D$ 的值，若不存在，请说明理由.

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17. 如图，在三棱台 $D E F - A B C$ 中， $A B = 2 D E$ ， $G 、 H$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $B D / /$ 平面 $F G H$ ；

(2)、若 $C F ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B ⊥ B C$ ， $C F = D E$ ，求平面 $E F G$ 与平面 $F G H$ 所成的锐二面角的大小.

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18. 已知过点 $A (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 相交于 $P$ 、 $Q$ 两点，直线 $m : x + 3 y + 6 = 0$ ．

(1)、当 $| P Q | = 2 \sqrt{3}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、设 $T$ 为直线 $m$ 上的动点，过 $T$ 作圆 $C$ 的两条切线 $T G$ 、 $T H$ ，切点分别为 $G$ 、 $H$ ，求四边形 $T G C H$ 面积的最小值；

(3)、是否存在直线 $l$ ，使得向量 $\vec{O P} + \vec{O Q}$ 与 $\vec{A C}$ 共线？如果存在，求出直线 $l$ 的方程；如果不存在，请说明理由．

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19. 已知 $△ A B C$ 顶点坐标分别为 $A (- 1, \sqrt{3}), B (- 1, - \sqrt{3}), C (- 4, 0)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆 $T$ 的方程；

(2)、设点 $D (3, \sqrt{3})$ ，若圆 $T$ 上存在点 $P$ ，使得 $P A^{2} + P D^{2} = λ$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $T$ 交于 $E, F$ 两点（不与原点 $O$ 重合），直线 $O E, O F$ 斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 3$ ，证明：直线 $l$ 恒过定点．

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