2015-2016学年湖北省襄阳市老河口一中高一下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2016-10-12 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知等比数列{a_n}满足：a₃•a₇= $\frac{π^{2}}{9}$ ，则cosa₅=（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、± $\frac{1}{2}$ D、± $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知α是第二象限角，且sinα= $\frac{3}{5}$ ，则tanα=（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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3. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中 $A > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2}$ ）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个长度单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个长度单位

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4. 在等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃+a₅=10，则a₇=（）

A、5 B、8 C、10 D、14

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5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则△ABC的形状是（）

A、等边三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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6. 将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣ $\frac{π}{2}$ ＜θ＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ），则φ的值可以是（　　）

A、 $\frac{5 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设 $\vec{O P}$ =α $\vec{O C}$ +β $\vec{O D}$ （α，β∈R），则α+β的最大值等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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8.
函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + ϕ) ， (ω ＞ 0 ， - \frac{π}{2} ＜ ϕ ＜ \frac{π}{2})$ 的图象如图所示， $\vec{A B}$ • $\vec{B D}$ =（）

A、8 B、﹣8 C、 $\frac{π^{2}}{8} - 8$ D、 $- \frac{π^{2}}{8} + 8$

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9. 若α∈（ $\frac{π}{4}$ ，π）且3cos2α=4sin（ $\frac{π}{4}$ ﹣α），则sin2α的值为（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、﹣ $\frac{7}{9}$ C、﹣ $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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10. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（）

A、10 $\sqrt{2}$ 海里 B、10 $\sqrt{3}$ 海里 C、20 $\sqrt{2}$ 海里 D、20 $\sqrt{3}$ 海里

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11. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：
①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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12. 函数f（x）= $\sqrt{3} \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) ， x \in R$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、π C、2π D、4π

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二、填空题

13. 向量 $\vec{a}$ =（2，3）， $\vec{b}$ =（﹣1，2），若m $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ 平行，则m等于．

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14. 在等比数列{b_n}中，S₄=4，S₈=20，那么S₁₂= ．

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15. 在△ABC中，若b²sin²C+c²sin²B=2bccosBcosC，则△ABC是．

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16. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₅=5，S₅=15，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前100项和为．

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三、解答题

17. 在△ABC中，已知 $(\sqrt{3} \sin B - \cos B) (\sqrt{3} \sin C - \cos C) = 4 \cos B \cdot \cos C$ ，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且b+c=4，求a的取值范围．

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18. 如图，函数y=2sin（πx+φ），x∈R（其中0≤φ≤ $\frac{π}{2}$ ）的图象与y轴交于点（0，1）．

(1)、求φ的值．

(2)、设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求tan∠MPN的值．

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19. 在△ABC中，b=3，c=3 $\sqrt{3}$ ，∠B=30°，求角A，角C，a．

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20. 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin² $\frac{B + C}{2}$ ﹣cos2A= $\frac{7}{2}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若BC边上高为1，求△ABC面积的最小值？

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21. 已知{a_n}是等差数列，满足a₁=3，a₄=12，数列{b_n}满足b₁=4，b₄=20，且{b_n﹣a_n}为等比数列．

(1)、求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、求数列{b_n}的前n项和．

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22. 已知函数f（x）=﹣cos²x﹣sinx+1．

(1)、求函数f（x）的最小值；

(2)、若 $f (α) = \frac{5}{16}$ ，求cos2α的值．

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