2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-12 类型：期中考试

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一、选择题

1. 复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）在复平面内对应的点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数y=f（x）的图象，且f（x）= $\frac{1}{\sqrt{8 π}} e^{- \frac{{(x - 10)}^{2}}{8}}$ ，则这个正态总体的期望与标准差分别是（）

A、10与4 B、10与2 C、4与10 D、2与10

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3. 函数f（x）=lnx﹣ $\frac{1}{2}$ x²的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（）

A、1，2，…，6 B、1，2，…，7 C、1，2，…，11 D、1，2，3…

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5. 设点P在曲线 $y = \frac{1}{2} e^{x}$ 上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）

A、1﹣ln2 B、 $\sqrt{2} (1 - \ln 2)$ C、1+ln2 D、 $\sqrt{2} (1 + \ln 2)$

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6. 若复数z= $\frac{\sin x}{1 + i}$ + $\frac{\cos x}{1 - i}$ ，则|z|的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7. f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）

A、af（b）≤bf（a） B、bf（a）≤af（b） C、af（a）≤f（b） D、bf（b）≤f（a）

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8. 若z= $\frac{1}{2}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$ i，且（x﹣z）⁴=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄ ，则a₂等于（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$ i B、﹣3+3 $\sqrt{3}$ i C、6+3 $\sqrt{3}$ i D、﹣3﹣3 $\sqrt{3}$ i

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9. 已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）
ξ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
$\frac{2}{3}$
$\frac{2}{3^{2}}$
$\frac{2}{3^{3}}$
$\frac{2}{3^{4}}$
$\frac{2}{3^{5}}$
$\frac{2}{3^{6}}$
$\frac{2}{3^{7}}$
$\frac{2}{3^{8}}$
$\frac{2}{3^{9}}$
m

A、 $\frac{2}{3^{9}}$ B、 $\frac{2}{3^{10}}$ C、 $\frac{1}{3^{9}}$ D、 $\frac{1}{3^{10}}$

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10. 设f （x）为可导函数，且满足 $\lim_{x \to 0} \frac{f (1) - f (1 - x)}{2 x}$ =﹣1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（）

A、2 B、﹣1 C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣2

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11. 甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则P（ξ=k）等于（）

A、0.6^k^﹣¹×0.4 B、0.24^k^﹣¹×0.76 C、0.4^k^﹣¹×0.6 D、0.6^k^﹣¹×0.24

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12. 已知f（x）= $x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 6 x - a b c$ ，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（2）＞0；④f（0）f（2）＜0．其中正确结论的序号为（）

A、①③ B、①④ C、②④ D、②③

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二、填空题

13. $\int_{- 4}^{3}$ |x+2|dx= ．

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14. 已知复数z₁=2+i，z₂=a+3i（a∈R），z₁•z₂是实数，则|z₁+z₂|= ．

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15. 已知f（x）=xe^x ， g（x）=﹣（x+1）²+a，若∃x₁ ， x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，则实数a的取值范围是．

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16. 若函数f（x）=（1﹣x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．

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三、解答题

17. 复数z₁= $\frac{3}{a + 5}$ +（10﹣a²）i，z₂= $\frac{2}{1 - a}$ +（2a﹣5）i，若 $\bar{z_{1}}$ +z₂是实数，求实数a的值．

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18. 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

(1)、求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

(2)、求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

(3)、设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．

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19. 已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx．

(1)、若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；

(2)、当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．

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20. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)、若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．

(2)、花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

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21. 已知M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q，设
$\vec{A P}$ =x $\vec{A B}$ ， $\vec{A Q} = y \vec{A C}$ ，记y=f（x）．

(1)、求函数y=f（x）的表达式；

(2)、设g（x）=x³+3a²x+2a，x∈[0，1]．若对任意x₁∈[ $\frac{1}{3}$ ，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

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22. 函数f（x）=alnx+1（a＞0）．

(1)、当x＞0时，求证： $f (x) - 1 \geq a (1 - \frac{1}{x})$ ；

(2)、在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．

(3)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求证： $f (2) + f (3) + \dots + f (n + 1) > 2 (n + 1 - \sqrt{n + 1})$ （n∈N^*）．

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ξ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{3^{2}}$	$\frac{2}{3^{3}}$	$\frac{2}{3^{4}}$	$\frac{2}{3^{5}}$	$\frac{2}{3^{6}}$	$\frac{2}{3^{7}}$	$\frac{2}{3^{8}}$	$\frac{2}{3^{9}}$	m

日需求量n	14	15	16	17	18	19	20
频数	10	20	16	16	15	13	10