2015-2016学年福建省三明市清流一中高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-12 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设f（x）是可导函数，且 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} - 2 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = 2$ 则 $f^{'} (x)$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣1 C、0 D、﹣2

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2. 证明不等式 $\sqrt{a + 1} - \sqrt{a} < \sqrt{a - 1} - \sqrt{a -2}$ （a≥2）所用的最适合的方法是（）

A、综合法 B、分析法 C、间接证法 D、合情推理法

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3. 曲线y=x³+x﹣2在点P₀处的切线平行于直线y=4x，则点P₀的坐标是（）

A、（0，1） B、（1，0） C、（﹣1，﹣4）或（1，0） D、（﹣1，﹣4）

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4. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x³+ax﹣b=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）

A、方程x³+ax﹣b=0没有实根 B、方程x³+ax﹣b=0至多有一个实根 C、方程x³+ax﹣b=0至多有两个实根 D、方程x³+ax﹣b=0恰好有两个实根

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5. i是虚数单位，复数 $\frac{7 + i}{3 + 4 i}$ =（）

A、1﹣i B、﹣1+i C、 $\frac{7}{25}$ + $\frac{31}{25}$ i D、﹣ $\frac{17}{7}$ + $\frac{25}{7}$ i

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6. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定正确的序号是（）

A、①② B、①③ C、③④ D、①④

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7. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）

A、300种 B、240种 C、144种 D、96种

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8. ${(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{2 n}$ 展开式的第6项系数最大，则其常数项为（）

A、120 B、252 C、210 D、45

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9. 设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和 $\frac{45}{4}$ ，则n、p的值分别是（）

A、50， $\frac{1}{4}$ B、60， $\frac{1}{4}$ C、50， $\frac{3}{4}$ D、60， $\frac{3}{4}$

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10. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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11. 已知圆上有均匀分布的8个点，从中任取三个，能够成锐角三角形的个数为（）

A、8 B、24 C、36 D、12

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12.
如图中阴影部分的面积是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $9 - 2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{32}{3}$ D、 $\frac{35}{3}$

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二、填空题

13. 若复数（1+ai）²（i为虚数单位）是纯虚数，则正实数a= ．

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14. $\int \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}$ （3x²+k）dx=10，则k= ．

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15. 如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有种（用数字作答）．
A
B
C
D

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16. 在直角坐标系中，定义两点P（x₁ ， y₁），Q（x₂ ， y₂）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁﹣x₂|+|y₁﹣y₂|．现有下列命题：
①已知P（1，3），Q（sin²α，cos²α）（α∈R），则d（P，Q）为定值；
②原点O到直线x﹣y+1=0上任一点P的直角距离d（O，P）的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；
③若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|≥ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ d（P，Q）；
④设A（x，y）且x∈Z，y∈Z，若点A是在过P（1，3）与Q（5，7）的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个．
其中的真命题是．（写出所有真命题的序号）

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三、解答题

17. 已知复数z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．

(1)、求复数z；

(2)、若 $w = \frac{z}{2 + i}$ ，求复数w的模|w|．

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18. 已知a，b，x，y∈R，证明：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）² ，并利用上述结论求（m²+4n²）（ $\frac{1}{m^{2}}$ + $\frac{4}{n^{2}}$ ）的最小值（其中m，n∈R且m≠0，n≠0）．

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19. 由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数．

(1)、共可以组成多少个五位数？

(2)、其中奇数有多少个？

(3)、如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由．

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20. 若二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求：

(1)、展开式中含x的项；

(2)、展开式中所有的有理项．

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21. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）= ${\begin{matrix} 10.8 - \frac{1}{30} x^{2} ， 0 < x \leq 10 \\ \frac{108}{x} - \frac{1000}{3 x^{2}} ， x > 10 \end{matrix}$ ．

(1)、求年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．

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22. 已知函数f（x）=（x²﹣3x+3）•e^x的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．

(1)、试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；

(2)、求证：m＜n；

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