湖南省永州市新田县第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题（A卷）

试卷更新日期：2025-10-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为2，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，则 $S_{10} =$ （）

A、10 B、8 C、0 D、 $- 6$

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2. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n} (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为（）

A、递增数列 B、递减数列 C、常数列 D、摆动数列

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3. 已知函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为 $[1, 2]$ ，则函数 $f (x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[4, 6]$ C、 $[5, 9]$ D、 $[3, 7]$

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4. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 1$ ， $S_{8} = 17$ ，则 $S_{12}$ 的值为（）

A、81 B、145 C、256 D、273

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5. 若不等式 $1 < a - b \leq 2, 2 \leq a + b < 4$ ，则 $4 a - 2 b$ 的取值范围是（）

A、 $5 \leq 4 a - 2 b \leq 10$ B、 $5 < 4 a - 2 b < 10$ C、 $3 \leq 4 a - 2 b \leq 12$ D、 $3 < 4 a - 2 b < 12$

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6. 函数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{e^{x} + e^{- x}}$ （ $e$ 为自然常数）的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $α \in (0, π)$ ，且 $sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (\frac{2 π}{3} - α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 设 $a = \frac{e + 2}{\ln (e + 2)}, b = \frac{2}{\ln 2}, c = \frac{e^{2}}{4 - \ln 4}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b<c<a$ C、 $a < c < b$ D、 $c<a<b$

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二、多选题

9. 已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 6 a_{3} + 1 ， a_{2} = 2$ ，则（）

A、 $q = \frac{1}{2}$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 有最小项 C、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 D、 $a_{n} + S_{n} = 8$

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10. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) = f (2 - x)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递增，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2) = 0$ B、 $f (x)$ 的一个周期为 4 C、 $f (\frac{5}{2}) + f (\frac{3}{2}) = 0$ D、 $f (x)$ 在区间 $(5 ， 6)$ 上单调递增

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11. 设函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有二个零点 B、过点 $(0, - 4)$ 仅可以作一条直线与 $f (x)$ 的图象相切 C、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > f (x^{2})$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(m, m + 4)$ 上有最大值，则 $m$ 的取值范围为 $(- 3, 0]$

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三、填空题

12. 已知函数 $f (x) = |2^{x} - 2| - m$ 有且只有一个零点，则实数m的取值范围是．

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13. 若 $θ$ 为第二象限角，且 $tan (π + θ) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sqrt{\frac{1 + cos θ}{1 - sin (\frac{π}{2} - θ)}} + \sqrt{\frac{1 - cos θ}{1 + sin (θ - \frac{3 π}{2})}}$ 的值是．

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14. 第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级 $K_{n} (n \in N^{*})$ 角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为 $60 °$ ），则n级 $K_{n}$ 角雪花曲线的开三角个数为， n级 $K_{n}$ 角雪花曲线的内角和为．

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四、解答题

15. 记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{n + 1} = a_{n} - n$ .

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、设数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{2} \leq T_{n} < 1$ .

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x + \frac{a}{x}$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 有极值，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} \neq x_{2})$ 处导数相等，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 2$ .

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17. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意正整数 $n$ ， $a_{n} = \frac{3}{4} S_{n} + 2$ 成立．

(1)、 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \frac{n + 1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 设公比为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} = 8, S_{2} = 6$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若不等式 $2 T_{n + 1} \leq M (n + b_{32}) b_{n + 2}^{2} (n \in N^{*})$ 恒成立，求 $M$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} ， g (x) = m (2 x + 1) ， m > 0$ ，设 $h (x) = f (x) - g (x)$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，求 $h (x)$ 的最小值

(2)、若函数 $h (x)$ 有两个零点，求实数m的取值范围；

(3)、若直线 $y = g (x)$ 是曲线 $f (x) = e^{2 x}$ 的一条切线，求证： $\forall a > b$ ，都有 $\frac{h (a) - h (b)}{a - b} \leq 2 e^{2 a} - 2$ ．

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