浙南名校联盟2025-2026学年高三上学期十月联考数学试题

试卷更新日期：2025-10-21 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目的要求．

1. 设 $m \in R$ ，若 $(1 + m i) (1 - i) = 2$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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2. 已知双曲线 $C ： 4 x^{2} - y^{2} = 16$ ，则双曲线的实轴长为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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3. 已知集合 $A = \{1, 3, a^{2}\} ， B = \{1, a + 2\}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、2 C、2或 $- 1$ D、1或 $- 1$

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4. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力 $\vec{F} = (sin α, cos α) ， α \in R$ ，作用于冰球，使冰球从点 $A (1, 2)$ 移动到点 $B (4, 6)$ ，则力 $\vec{F}$ 对冰球所做的功的最大值为（）（动力做的功 $W = \vec{F} \cdot \vec{A B}$ ）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、4 D、5

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5. 函数 $y = 1 - sin (x - \frac{π}{3}), x \in (\frac{π}{6}, 2 π)$ 的图像与直线 $y = a$ （ $a$ 为常数）的交点个数不可能为（）个

A、3 B、2 C、1 D、0

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6. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R ， f (x) + f (2 - x) = 0 ， f (x + 2)$ 为偶函数，且 $f (2) = 1$ ，则 $f (2025) + f (2026) =$ （）

A、47 B、 $- 1$ C、1 D、2

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7. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，圆 $C$ 的标准方程为 ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若直线 $l ： y = \frac{3}{4} x + t, t \in R$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆 $C$ 有公共点，则 $t$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、-1

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8. 已知实数 $a, b, c$ 满足 ${1.5}^{a} + a = \log_{1.2} b + b = \sin c + c$ ，则下列关系不可能成立的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a = b < c$ C、 $b < a = c$ D、 $b < a < c$

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二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列论述正确的是（）

A、已知随机变量 $X ~ B (6, \frac{1}{2})$ ，则 $E (X) = 3$ B、数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 C、记两个变量的样本相关系数为 $r$ ，若 $|r|$ 越接近0，线性相关程度越强 D、对某两个分类变量进行独立性检验时，若 $χ^{2} \geq x_{0.05}$ ，则有 $95 %$ 的把握能推断零假设成立．其中 $x_{0.05}$ 表示概率值0.05所对应的临界值

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10. 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，其中 $M$ 是 $A B$ 的中点，点 $M$ 到 $y$ 轴的最短距离为 $\frac{1}{2}$ ， $O$ 为坐标原点，则下列命题正确的是（）

A、若直线 $l$ 的方程为 $2 x - 2 y - 1 = 0$ ，则 $M (\frac{3}{2} ， 1)$ B、 $|A F| + |B F| = |A F| \cdot |B F|$ C、点 $M$ 的轨迹方程是 $y^{2} = x - \frac{1}{2}$ D、 ${|A B|}^{2} = 4 {|O M|}^{2} + 3$

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11. 已知三棱锥 $A - B C D, B C = 2, A B ⊥ A C, D B ⊥ D C, ∠ A C B = \frac{π}{3}, ∠ B C D = \frac{π}{4}$ ，三棱锥 $A - B C D$ 的外接球为球 $O$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $A B$ 与 $C D$ 可能垂直 B、 $A C$ 与 $B D$ 可能垂直 C、过棱 $A D$ 作球 $O$ 的截面，截面面积可能为 $\frac{π}{8}$ D、二面角 $D - A C - B$ 的余弦值可能为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．

12. 在二项式 ${(\frac{1}{x} - x)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数为．

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13. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n} + a_{n + 1} = 2^{n}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2 n - 1} =$ ．

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14. 设 $a, b, c, d, e, f$ 为数字1，2，3，4，5，6的一个排列，记三位数 $m = \bar{a b c}, n = \bar{d e f}$ ，其中 $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ ，例 $\bar{321} = 100 \times 3 + 10 \times 2 + 1$ ，则 $|m - n|$ 的值大于400的概率为．

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四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．

15. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{c + b}{a} = \frac{\sqrt{3} sin C - sin A}{sin C - sin B}$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 是 $B C$ 的中点，且 $A D = 2, A B = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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16. 已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 99, a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ ．

(1)、求证： $\{lg (a_{n} + 1)\}$ 是等比数列

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{lg (a_{n} + 1) - 1}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < 2$ ．

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17. 如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为菱形， $A B = 2, A_{1} B_{1} = 1, B C$ 的中点为 $E$ ．

(1)、证明： $D_{1} E //$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $D_{1} D = \sqrt{3}$ ，点 $D_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的射影恰是 $D E$ 的中点，求平面 $B E D_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的余弦值．

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过圆 $O : x^{2} + y^{2} = 6$ 上一动点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作椭圆的两条切线，切点分别为 $A, B$ ．
（I）证明： $P A ⊥ P B$ ；
（II）求四边形 $P A O B$ 面积的取值范围．

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19. 已知指数函数 $f (x) = a^{x} (a > 0, 且 a \neq 1)$ ，原函数 $y = f (x)$ 的反函数可记作 $y = f^{- 1} (x)$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，证明：当 $x \in [1, + \infty), f^{- 1} (x) \leq \frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}$

(2)、当 $a > 1$ 时，求函数 $g (x) = (x - 1) f (x)$ 的极值点；

(3)、当 $0 < a < e^{- e}$ 时，讨论曲线 $y = f (x)$ 与 $y = f^{- 1} (x)$ 的交点个数．

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