浙江省强基联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题（B卷）

试卷更新日期：2025-10-28 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = \{x |0 < x < 3\}$ ， $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 3 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 3 < 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 3 \geq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 3 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 3 < 0$

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3. 集合 $A = \{y |y = \frac{4}{x + 3}, x \in Z, y \in Z\}$ 中的元素个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 设 $a, b, c \in R$ ，则下列选项中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $|a| > |b|$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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5. 已知命题p： $1 < x < 3$ ，命题q： $2 m < x \leq 1 - m$ ，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）

A、 $\emptyset$ B、 $m \geq \frac{1}{3}$ C、 $- 2 < m \leq \frac{1}{2}$ D、 $m \leq - 2$

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6. 已知 $M = x^{2} + 5 x + 6$ ， $N = 2 x^{2} + 5 x + 9$ ，则M，N的大小关系为（）

A、 $M > N$ B、 $M = N$ C、 $M < N$ D、与x的取值有关

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7. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x - c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则不等式 $c x^{2} + a x + b > 0$ 的解集为（）

A、 ${x | x < - 1$ 或 $x > \frac{1}{2}}$ B、 $\{x |- 1 < x < \frac{1}{2}\}$ C、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 1}$ D、 $\{x |- 2 < x < 1\}$

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8. 给定整数 $n \geq 3$ ，有 $n$ 个实数元素的集合 $S$ ，定义其相伴数集 $T = \{|a - b| |a, b \in S, a \neq b\}$ ，如果 $\min (T) = 1$ ，则称集合 $S$ 为一个 $n$ 元规范数集（注： $\min (T)$ 表示数集 $T$ 中的最小数）.对于集合 $M = \{- 0.1, - 2.1, 2, 2.1\}$ ， $N = \{- 2.5, - 0.5, 0.5, 2.5\}$ ，则（）

A、 $M$ 是规范数集， $N$ 不是规范数集 B、 $M$ 是规范数集， $N$ 是规范数集 C、 $M$ 不是规范数集， $N$ 是规范数集 D、 $M$ 不是规范数集， $N$ 不是规范数集

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知集合 $M = \{1, 2\}$ ，集合 $M \subseteq N$ $\underset{\neq}{\subset}$ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则集合N可以是（）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

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10. 设正实数a，b满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b$ 的最小值是 $\frac{1}{4}$ B、 $a b$ 的最大值是 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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11. 已知关于 $x$ 的不等式 $(x - 1) (x + 3) + 2 a < 0$ 的解集是 $\{x |x_{1} < x < x_{2}\}$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} + 2 = 0$ B、 $- 3 < x_{1} < x_{2} < 1$ C、 $|x_{1} - x_{2}| > 4$ D、 $x_{1} x_{2} - 1 < 0$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ .

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13. 若集合 $A = \{x \in N^{*} |x^{2} - 2 x + a < 0\}$ 有且只有两个元素，则实数a的取值范围是.

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14. 已知实数 $x, y (x y \neq 1)$ 满足 $2025 x^{2} + 2026 x + 1 = 0$ ， $y^{2} + 2026 y + 2025 = 0$ ，则 $\frac{y}{x y + 3 x + 1}$ 的值为.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15. 将下列各式分解因式.

(1)、 $a b^{2} - a^{3}$ ；

(2)、 $5 x^{2} + 6 x - 8$ ；

(3)、 $x^{3} - 3 x - 2$ .

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16. 已知集合 $A = \{x |m x - 1 = 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 3 x + 2 = 0\}$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $A \cup B$ 和 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的值.

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17. 若 $a, b > 0$ 且 $a b = a + b + 3$ .

(1)、求 $a b$ 的最小值；

(2)、求 $a + b$ 的取值范围.

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18. 已知直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D = C D$ ， $A B + B C = 12 (B C > A B)$ ，过点 $A$ 作 $C D$ 延长线的垂线，垂足为E，连接 $A E$ .

(1)、设 $B C = x$ ， $A D = a$ ，请写出x与a的关系式（用x表示a）；

(2)、在（1）的条件下，记 $△ A E D$ 的面积为S，求S的最大值及此时x的值.

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19. 已知二次函数 $y = x^{2} + a x + a (a \in R)$ .

(1)、若 $y > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $0 \leq x \leq 1$ 时，函数y的最小值为 $\frac{9 a - 1}{8}$ ，求实数a的值；

(3)、若 $a \in R$ ， $\exists x \in \{x |1 \leq x \leq 2\}$ ，使得关于x的方程 $x^{2} + a x + a = 0$ 有解，求实数a的取值范围.

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