湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二上学期第一次（10月）质量检测数学试卷

试卷更新日期：2025-10-19 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $z$ 满足 $z = i (i - 1)$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2} i$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 已知椭圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁与B₁D₁的交点．若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{A M}$ 相等的向量是（　　）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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4. 已知直线的一个方向向量为 $(1, 2)$ ，其倾斜角为 $α$ ，则 $2 {sin}^{2} α - {cos}^{2} α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $- \frac{7}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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5. 已知 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 的方差为3，则 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, \cdot \cdot \cdot, 2 x_{n} + 1$ 的方差为（）

A、6 B、7 C、12 D、18

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6. 已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为 $3 x + 2 y + 1 = 0$ 和 $3 x + 2 y + 4 = 0$ ，另一组对边所在的直线方程分别为 $4 x - 6 y + c_{1} = 0$ 和 $4 x - 6 y + c_{2} = 0$ ，则 $| c_{1} - c_{2} | =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{6 \sqrt{13}}{13}$ D、6

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7. “ $- 2 \leq b < 2$ ”是“直线 $y = x + b$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 恰有1个公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{2}$ ，空间中的点 $M$ 满足： $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} B} + μ \vec{A_{1} D_{1}}$ ，其中 $λ \in R, μ \in R$ ，且 $\frac{M A}{M B} = \sqrt{2}$ ，则点 $M$ 的轨迹的长度为（）

A、 $6 π$ B、 $3 π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知圆锥的顶点为 $S$ ， $A B$ 为底面直径， $△ S A B$ 是面积为1的直角三角形，则（）

A、该圆锥的母线长为 $\sqrt{2}$ B、该圆锥的体积为 $\frac{1}{3} π$ C、该圆锥的侧面积为 $π$ D、该圆锥的侧面展开图的圆心角为 $\sqrt{2} π$

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10. 下列说法正确的是（）

A、若直线 $2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行，则 $m = - 3$ B、 $\forall a \in (0, 1)$ ，都有原点 $O$ 在圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 a$ 外 C、一条光线从点 $A (- 2, 3)$ 射出，经 $x$ 轴反射后，与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射后光线所在的直线方程为 $4 x - 3 y - 1 = 0$ D、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 8 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 2 = 0$ 的公切线恰有2条

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11. 已知 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则（）

A、 $\frac{2 x + y}{x - 1} \in (- \infty, 2] \cup [\frac{10}{3}, + \infty)$ B、 $x^{2} + y^{2} - 6 y + 10$ 的最大值为26 C、 $|3 x + 4 y - 12|$ 的最小值是 $\frac{2}{5}$ D、 $2 \sqrt{13 - 6 y} - \sqrt{20 - 8 x}$ 的最大值是 $2 \sqrt{10}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $M, N$ 是相互独立事件，且 $P (M) = 0.4, P (N) = 0.3$ ，则 $P (M \cup N) =$ ．

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13. 直线 $l_{1}$ ： $x - m y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $m x + y + 2 = 0$ 交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则 $|O Q|$ 的最大值是．

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14. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与 $E$ 交于 $B$ 、 $C$ 两点，则 $△ A B C$ 的周长为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50), [50, 60), \dots, [90, 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本成绩的平均数和众数；

(3)、用分层抽样的方法在分数落在 $[60, 80)$ 内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在 $[70, 80)$ 内的概率．

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16. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $\frac{a}{b} = \frac{c o s A}{2 - c o s B}$ .

(1)、求 $\frac{a}{c}$ ；

(2)、若 $cos C = \frac{1}{4}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{15}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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17. 在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D > A Q$ ， $P D / / Q A$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = 2 A Q = 2$ ， $P D = 2$ ．

(1)、求证： $Q B / /$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P Q B$ 夹角的余弦值．

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18. 已知过定点 $T (4, 2)$ 的直线 $l$ 被圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求直线 $l$ 的方程．

(2)、线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(6, 8)$ ，端点 $A$ 在圆 $O$ 上运动， $M$ 是线段 $A B$ 的中点，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．
（i）求曲线 $C$ 方程；
（ii）已知点 $P$ 为直线 $x + y - 2 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作曲线 $C$ 的两条切线，切点分别为 $E$ 、 $F$ ，判断直线 $E F$ 是否过定点?求出该定点，并说明理由；

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19. 已知椭圆 $E$ 的两个焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ 和 $F_{2} (1, 0)$ ，点 $Q$ 为椭圆 $E$ 的上顶点， $△ Q F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、已知点 $P$ 为椭圆 $E$ 上一动点，求点 $P$ 到直线 $l : 3 x + 4 y - 12 = 0$ 距离的最值；

(3)、分别过 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作平行直线 $m, n$ ，若直线 $m$ 与曲线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $n$ 与曲线 $E$ 交于 $C, D$ 两点，其中点 $A, D$ 在 $x$ 轴上方，求四边形 $A F_{1} F_{2} D$ 的面积的取值范围．

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