四川省宜宾市2017-2018学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2017-12-13 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，则A∩B=（）

A、[2，+∞） B、[3，4） C、[3，4] D、[3，+∞）

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2. 已知向量 $\vec{a}$ =（0，1）， $\vec{b}$ =（﹣1，﹣1），当（ $\vec{a}$ +λ $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{a}$ 时，实数λ的值为（）

A、1 B、﹣1 C、2 D、﹣2

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3. 已知命题p：∃x₀∈R，sinx₀＞1，则（）

A、¬p：∃x₀∈R，sinx₀≤1 B、¬p：∀x∈R，sinx＞1 C、¬p：∃x₀∈R，sinx₀＞1 D、¬p：∀x∈R，sinx≤1

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4. 下列函数既是奇函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）

A、f（x）=x⁴ B、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = l g (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ D、f（x）=x³

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5. 等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₅a₆=4，则log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₁₀=（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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6. 对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；（2）若ac²＞bc² ，则a＞b；（3）若a＞b，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ；（4）若a＞b，c＞d，则ac＞bd．
其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知向量 $\vec{m}$ =（1，﹣a）， $\vec{n}$ =（1，b﹣1）共线，其中a，b＞0，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、8 D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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8. △ABC中，AC=4，AB=2，若点G为△ABC的重心，则 $\vec{A G} \cdot \vec{B C}$ =（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 实数x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则z=2x+y的最小值为（）

A、1 B、﹣3 C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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10. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2B+3cos（A+C）+2=0， $b = \sqrt{3}$ ，那么△ABC周长的最大值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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11. 数列{a_n}为递增的等差数列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x﹣1），其中f（x）=x²﹣4x+2，则数列{a_n}的通项公式为（）

A、a_n=n﹣2 B、a_n=2n﹣4 C、a_n=3n﹣6 D、a_n=4n﹣8

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12. 设函数f（x）=3x²﹣4ax（a＞0）与g（x）=2a²lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{1}{2 e^{2}}$ C、 $\frac{1}{3 e^{2}}$ D、 $\frac{1}{4 e^{2}}$

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二、填空题

13. $\int_{0}^{1}$ （2x+1）dx= ．

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14. 函数 $y = \frac{\sqrt{4 - x}}{| x | - 3} + l g (x - 2)$ 的定义域为．

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15. 已知α为锐角，且 $s i n α (\sqrt{3} - t a n 10 °) = 1$ ，则α= ．

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16. 已知函数f（x）= $\frac{1}{3} x^{3}$ +2x+sinx（x∈R），若函数y=f（x²+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，则函数g（x）=mx+ $\frac{4}{x - 1}$ （x＞1）的最小值是．

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三、解答题

17. 若函数f（x）= $\sqrt{3} s i n 2 x + 2 c o s^{2}$ x+3．
（ I）求y=f（x）的最小正周期；
（ II）求y=f（x）在x∈R时的最小值，并求相应的x取值集合．

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18. 已知在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，a₂=2，S₅=15；等比数列{b_n}的前n项和 $T_{n} = 2^{n} - 1$ ．
（ I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（ II）设c_n=a_n•b_n ，求数列{c_n}的前n项和C_n ．

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19. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a﹣c．
（ I）求B；
（ II）若 $b = \sqrt{7} ， c = 2$ ，求△ABC的面积．

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20. 已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），且在x=﹣2取得极值．
（ I）求实数a，b的值；
（ II）若函数f（x）在区间（m，m+1）上不单调，求m的取值范围．

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21. 已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1= $\frac{2 n + 1}{2 n - 1} a_{n} (n \in N^{*})$ ．
（ I）证明数列 ${\frac{a_{n}}{2 n - 1}}$ 是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（ II）求证： $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} < \frac{1}{2}$ ．

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22. 已知函数f（x）=xlnx﹣x﹣ $\frac{1}{2} a x^{2}$ （a∈R），在定义域内有两个不同的极值点x₁ ， x₂（x₁＜x₂）．
（ I）求a的取值范围；
（ II）求证：x₁+x₂＞2e．

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