备考2018年高考数学一轮基础复习：专题12 平面向量

试卷更新日期：2017-12-13 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若 $\vec{A D} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $\frac{λ}{μ}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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2. 已知A（3，0），B（2，1），则向量 $\vec{A B}$ 的单位向量的坐标是（）

A、（1，﹣1） B、（﹣1，1） C、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且| $\vec{a}$ |=1，| $\vec{b}$ |= $\frac{1}{2}$ ，则 $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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4. 已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若 $\vec{O C} = m \vec{O A} + n \vec{O B}$ ，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（）

A、（0，1） B、（﹣1，0） C、（1，+∞） D、（﹣∞，﹣1）

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5. 在平行四边形ABCD中， $\vec{A B}$ + $\vec{C A}$ + $\vec{B D}$ =（）

A、 $\vec{A B}$ B、 $\vec{B D}$ C、 $\vec{B C}$ D、 $\vec{C D}$

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6. 已知a，b∈R^* ，若向量 $\vec{m}$ =（2，12﹣2a）与向量 $\vec{n}$ （1，2b）共线，则 $\sqrt{2 a + b}$ + $\sqrt{a + 5 b}$ 的最大值为（）

A、6 B、4 C、3 D、 $\sqrt{3}$

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7. △ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足 $\vec{B M}$ =2 $\vec{M A}$ ，则 $\vec{C M}$ • $\vec{C A}$ 的值为（）

A、3 B、6 C、9 D、不确定

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8. 设D为△ABC所在平面内一点， $\vec{B C} = 3 \vec{C D}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{4}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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9. △ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a，b，c，设向量 $\vec{m}$ =（a+b，sinC）， $\vec{n}$ =（ $\sqrt{3}$ a+c，sinB﹣sinA），若 $\vec{m}$ ∥ $\vec{n}$ ，则角B的大小为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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10. 在△ABC所在的平面内，点P₀、P满足 $\vec{P_{0} B}$ = $\frac{1}{4}$ $\vec{A B}$ ， $\vec{P B} = λ \vec{A B}$ ，且对于任意实数λ，恒有 $\vec{P B} \cdot \vec{P C} \geq$ $\vec{P_{0} B} \cdot \vec{P_{0} C}$ ，则（）

A、∠ABC=90° B、∠BAC=90° C、AC=BC D、AB=AC

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11. 已知两点A（1，0），B（1， $\sqrt{3}$ ），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设 $\vec{O C}$ =﹣2 $\vec{O A} + λ \vec{O B}$ ，（λ∈R），则λ等于（）

A、﹣1 B、2 C、1 D、﹣2

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12. 若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 满足：| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |=3，且当λ∈R时，| $\vec{b} - λ \vec{a}$ |的最小值为2 $\sqrt{2}$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影为（）

A、1 或2 B、2 C、1 或3 D、3

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二、填空题

13. 在△ABC中，点M，N满足 $\vec{A M}$ =2 $\vec{M C}$ ， $\vec{B N}$ = $\vec{N C}$ ．若 $\vec{M N}$ =x $\vec{A B}$ +y $\vec{A C}$ ，则x+y= ．

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14. 在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足 $\vec{B M}$ =3 $\vec{A M}$ ，则 $\vec{C M}$ • $\vec{C A}$ = ．

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15. 在平面四边形ABCD中，已知 $\vec{A C} = (1 ， 3) ， \vec{B D} = (9 ， - 3)$ ，则四边形ABCD的面积为．

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16. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为单位向量且夹角为 $\frac{π}{3}$ ，设 $\vec{a}$ = $\vec{e_{1}}$ + $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{b}$ = $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为．

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三、综合题

17. 锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA﹣tanB= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ （1+tanAtanB）．
（Ⅰ）若c²=a²+b²﹣ab，求角A、B、C的大小；
（Ⅱ）已知向量 $\vec{m}$ =（sinA，cosA）， $\vec{n}$ =（cosB，sinB），求|3 $\vec{m}$ ﹣2 $\vec{n}$ |的取值范围．

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18. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（cosα，sinα），设 $\vec{m}$ = $\vec{a}$ +t $\vec{b}$ （t为实数）．

(1)、若 $α = \frac{π}{4}$ ，求当| $\vec{m}$ |取最小值时实数t的值；

(2)、若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，问：是否存在实数t，使得向量 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 和向量 $\vec{m}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．

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19. 设△ABC的三个内角分别为A，B，C．向量 $\vec{m} = (1 ， c o s \frac{C}{2}) 与 \vec{n} = (\sqrt{3} s i n \frac{C}{2} + c o s \frac{C}{2} ， \frac{3}{2})$ 共线．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，试判断△ABC的形状．

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20. 已知平面向量 $\vec{a} = (3 ， 2) ， \vec{b} = (- 1 ， 2) ， \vec{c} = (4 ， 1)$ ．

(1)、求满足 $\vec{a} = m \vec{b} + n \vec{c}$ 的实数m，n；

(2)、若 $(\vec{a} + k \vec{c}) ⊥ (2 \vec{b} - \vec{a})$ ，求实数k的值．

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21. 在四边形ABCD中， $\vec{A B}$ =（2，﹣2）， $\vec{B C}$ =（x，y）， $\vec{C D}$ =（1， $\frac{7}{2}$ ）．

(1)、若 $\vec{B C}$ ∥ $\vec{D A}$ ，求x，y之间的关系式；

(2)、满足（1）的同时又有 $\vec{A C}$ ⊥ $\vec{B D}$ ，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．

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22. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a}$ =（1，2）．

(1)、若| $\vec{c}$ |=2 $\sqrt{5}$ ，且 $\vec{c}$ ∥ $\vec{a}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标

(2)、若| $\vec{b}$ |= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 垂直，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角θ

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