专题7 常见的全等三角形考点—浙教版数学中考二轮培优专训

试卷更新日期：2025-09-22 类型：二轮复习

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一、选择题（每题2分，共20分）

1. 如图，能用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是（）

A、AC=A'C'，AB=A'B' B、∠A=∠A'，AB=A'B' C、AC=A'C'，BC=B'C' D、∠B=∠B'，BC=B'C'

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2. 如图， $∠ A B D = ∠ C B D$ ，要说明 $△ A B D ≌ △ C B D$ ，需添加的条件不能是（）

A、 $A B = B C$ B、 $∠ A D B = ∠ C D B$ C、 $∠ A = ∠ C$ D、 $A D = C D$

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3. 如图， $A B = A D$ ， $A C = A E$ ， $∠ B A E = ∠ D A C$ ，下列结论不一定成立的是（）

A、 $A F = E F$ B、 $∠ C = ∠ E$ C、 $B C = D E$ D、 $∠ B = ∠ D$

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4. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4， $∠ E A F = 45 °$ ，将 $△ A B E$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ A D G$ ．若 $B E = 1$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、3 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、4

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5. 如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A、 $\sqrt{34}$ B、 $\sqrt{29}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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6. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠A=60°，点E在BC边上，连结DE，将DE绕顶点D按顺时针方向旋转120°得到DE'，连结AE'，CE'.当CE=4时，△CDE的面积为（）

A、3 $\sqrt{3}$ B、6 C、4 $\sqrt{3}$ D、9

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B =70°$ ，在同一平面内，将 $△ A B C$ 绕点A旋转某个角度到 $△ A B^{'} C^{'}$ 的位置，使得 $C C^{'} ∥ A B$ ，则 $∠ C A B^{'} =$ （）

A、 $30°$ B、 $35°$ C、 $40°$ D、 $50°$

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8. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ， $A D = 10$ ， $∠ A = 60 °$ ， $E$ 是边 $A D$ 上一点，且 $A E = 6$ ， $F$ 是边 $A B$ 上的一个动点，将线段 $E F$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到 $E N$ ，连接 $B N$ 、 $C N$ ，则 $B N + C N$ 的最小值是（）

A、 $3 \sqrt{21}$ B、 $4 \sqrt{14}$ C、 $4 \sqrt{13}$ D、14

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9. 在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，将 $△ B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ ，得到 $△ B A E$ ，连接 $E D$ ，若 $B C = 9$ ， $B D = 8 .$ 则下列四个结论： $① A E / / B C$ ； $② ∠ A D E = ∠ B D C$ ； $③ △ B D E$ 是等边三角形； $④ △ A E D$ 的周长是 $17 .$ 其中正确的结论是( )

A、 $① ② ③$ B、 $② ③ ④$ C、 $① ③ ④$ D、 $① ② ④$

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10. 用两个全等且边长为 $4$ 的等边三角形 $A B C$ 和 $△ A C D$ 拼成菱形 $A B C D$ ，把一个 $60 °$ 角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 $60 °$ 角的顶点与点 $A$ 重合，两边分别与 $A B$ ， $A C$ 重合，将三角尺绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，在转动过程中，当 $△ A E C$ 的面积是 $2 \sqrt{3}$ 时， $C F$ 的长为（）

A、 $2$ 或 $4$ B、 $2$ 或 $6$ C、 $4$ 或 $6$ D、 $0$ 或 $8$

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二、填空题（每题2分，共10分）

11. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分线分别交BC ， AB于点D ， F ， AE⊥DF交DF的延长线于点E ，若DF＝1，则AE＝．

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12. 如图，△ABC中，AB=AC，点D为CA延长线上一点，DH⊥BC于点H，点F为AB延长线上一点，连接DF交CB的延长线于点E，点E是DF的中点，若BH=2，BE=2BH，则BC=.

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13. 如图1，有一张矩形纸片 $A B C D$ ，已知 $A B = 10$ ， $A D = 12$ ，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕 $B F$ 进行折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $E$ 处，点 $F$ 在 $A D$ 上（如图2），则 $D F =$ ；然后将 $△ F B E$ 绕点 $F$ 旋转到 $△ F M N$ ，当 $M N$ 过点 $C$ 时旋转停止，则 $E N$ 的长度为．

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14. 综合实践课上，小聪把一张长方形纸片 $A B C D$ 沿着虚线 $E B$ 剪开，如图①所示，把得到的两张纸片如图②摆放，纸片 $R t △ C B^{'} E^{'}$ 较小锐角的顶点 $E^{'}$ 在 $D E$ 上，较长直角边与斜边分别交边 $A B$ 于点G，H．以点G与A重合，且 $B^{'} E^{'} ⊥ A B$ 为初始位置，把 $R t △ C B^{'} E^{'}$ 沿着 $D E$ 方向平移，当点 $E^{'}$ 到达点E后立刻绕点E逆时针旋转，如图③，直到点H与点B重合停止．为了探求 $B H$ 与 $A G$ 之间的变化关系，设 $A G = m$ ，请用含m的代数式表示 $B H$ ．

(1)、在平移过程中， $B H =$ ，

(2)、在旋转过程中， $B H =$ ．

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三、解答题（共7题，共53分)

15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，E为 $A D$ 的中点，延长 $B E ， C D$ 交于点F，连接 $A F ， B D$ ．

(1)、求证： $△ A E B ≌ △ D E F$ ；

(2)、若 $B F = B C ， C D = 6 ， B D = 8$ ，求 $A E$ 的长．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，P是对角线 $A C$ 上的一点，点E在 $B C$ 的延长线上，且 $P E = P B$ ．

(1)、求证： $△ B C P ≌ △ D C P$ ；

(2)、求证： $∠ D P E = ∠ A B C$ ；

(3)、把正方形 $A B C D$ 改为菱形 $A B C D$ ，且 $∠ A B C = 60 °$ ，其他条件不变，如图．连接 $D E$ ，试探究线段 $B P$ 与线段 $D E$ 的数量关系，并说明理由．

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17. 如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE ， AB平分∠CAE ， AB∥DF ．

(1)、求证：四边形ABDF是平行四边形；

(2)、过点B作BG⊥AE于点G ，若CB＝AF ，请直接写出四边形BGED的形状．

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18. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $D E ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $A E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，交 $C D$ 于点 $G$ ，连结 $C F$ ．

(1)、求证： $A F = C F$ ；

(2)、求证： $A F^{2} = E F \cdot G F$ ；

(3)、若菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 120 °$ ，求 $F G$ 的长．

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19. 在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点O(0，0)，点A(5，0)，点 B(0，3).以点 A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F.

(1)、如图①，当点 D 落在BC 边上时，求点 D 的坐标.

(2)、如图②，当点 D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点 H.
①求证：△ADB≌△AOB.
②求点 H 的坐标.

(3)、记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S为△KDE 的面积，求S 的取值范围(直接写出结果即可).

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20. $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ A B .$ 连接 $B E$ ， $C E$ ， $M$ 为平面内一动点．

(1)、如图 $1$ ，若 $B C = 4$ ，则 $S_{△ E B C} =$ ．

(2)、如图 $2$ ，点 $M$ 在 $B E$ 上，且 $C M ⊥ B E$ 于 $M$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ B E$ 于 $F$ ， $D$ 为 $A C$ 中点，连接 $F D$ 并延长，交 $C M$ 于点 $H$ ．
求证： $① △ A D E$ ≌ $△ M C B$ ； $② M F = M H$ ；

(3)、如图 $3$ ，连接 $B M$ ， $E M$ ，过点 $B$ 作 $B M' ⊥ B M$ 于点 $B$ ，且满足 $B M' = B M$ ，连接 $A M'$ ， $M M'$ ，过点 $B$ 作 $B G ⊥ C E$ 于点 $G$ ，若 $S_{△ A B C} = 18$ ， $E M = 3$ ， $B G = 4$ ，求线段 $A M'$ 的长度的取值范围．

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21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E是AD上的一个动点.

(1)、如图1，连接BD，G是对角线BD的三等分点，且GD＝ $\frac{1}{3}$ BD，连接GE.当GE＝GD时，求AE的长；

(2)、如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交线段AB于点F，连接CF，与BE交于点P.当BE平分∠ABC时，求PE的长；

(3)、如图3，连接EC，点H在CD上，将△EDH沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D'作D'N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE＝2.求△MD'H的面积.

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四、实践探究题（共4题，共37分)

22. 实验活动：仅用一把圆规作图．

(1)、【任务阅读】如图 $1$ ，仅用一把圆规在 $∠ A O B$ 内部画一点 $P$ ，使点 $P$ 在 $∠ A O B$ 的平分线上．
小明的作法如下：
如图 $2$ ，以点 $O$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 $O A 、 O B$ 于点 $E 、 F$ ，再分别以点 $E$ 、 $F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，则点 $P$ 为所求点．理由：如图3，连接 $E P 、 F P 、 O P$ ，由作图可知 $O E = O F$ ， $P E = P F$ ，
又因为 $O P = O P$ ，
所以．
所以 $∠ E O P = ∠ F O P$ ，
所以 $O P$ 平分 $∠ A O B$ ，
即点 $P$ 为所求点；

(2)、【实践操作】如图 $4$ ，已知直线 $A B$ 及其外一点 $P$ ，只用一把圆规画一点 $Q$ ，使点 $P 、 Q$ 所在直线与直线 $A B$ 平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法）

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23.

(1)、【链接教材】
如图1，E、F是直线 $l$ 上方两点，若点 $P$ 在直线 $l$ 上，满足 $P E = P F$ ，则点 $P$ 是线段EF的（填特殊直线）与直线 $l$ 的交点；

(2)、【问题延伸】
①如图2，点 $O$ 是矩形ABCD对角线的交点， $O E = O F$ .要分别在AB、CD边上确定点 $P$ 、 $Q$ ，满足 $P F = E Q$ ，且点 $O$ 在线段PQ上.经过思考，小文发现可以利用矩形的中心对称性，将点 $E$ 或 $F$ 关于点 $O$ 对称，再作该对称点和另一点所组成的线段的中垂线.请你根据她的思路在图2中尺规作图确定P、Q的位置（不写作法，保留作图痕迹）.
②如图3，点O是矩形ABCD对角线的交点， $O E \neq O F$ .经过深入探究，聪明的小文发现进一步利用矩形的中心对称性，在问题①思路的基础上再添加一条过点 $O$ 的线段，就能找到符合题意的 $P$ 、 $Q$ （ $P$ 、 $Q$ 分别在AB、CD边上，满足 $P F = E Q$ ，且点 $O$ 在线段PQ上）.请在图3中用直尺简单构图（不要求圆规作图），并证明 $P F = E Q$ .

(3)、【举一反三】
如图4，在平面直角坐标系xOy中，原点 $O$ 是菱形ABCD对角线的交点， $O A = 4, O B = 2, E (- 2, m)$ ，其中 $m > 1$ ， $F (3, - 2)$ .若 $P$ 、 $Q$ 分别在AB、CD边上，满足 $P F = E Q$ ，且点 $O$ 在线段PQ上，直接写出 $m$ 的取值范围.

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24. 综合与实践

(1)、【知识感知】如图 $1$ ，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的： $①$ 平行四边形 $②$ 矩形 $③$ 菱形 $④$ 正方形中，能称为垂美四边形是 $($ 只填序号 $)$ ；

(2)、【概念理解】如图 $2$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ，问四边形 $A B C D$ 是垂美四边形吗？请说明理由；

(3)、【性质探究】如图 $1$ ，垂美四边形 $A B C D$ 的两对角线交于点 $O$ ，试探究 $A B$ ， $C D$ ， $B C$ ， $A D$ 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想；

(4)、【性质应用】如图 $3$ ，分别以 $R t △ A B C$ 的直角边 $A C$ 和斜边 $A B$ 为边向外作正方形 $A C F G$ 和正方形 $A B D E$ ，连接 $C E$ ， $B G$ ， $G E$ 已知 $A C = 4$ ， $A B = 5$ ，则 $G E$ 长为．

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25. 【方法提炼】
解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略.

【问题情境】

如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q.求证：AE＝FG.

小明在分析解题思路时想到了两种平移法：

方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；

方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；

【尝试应用】

(1)、请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；

(2)、如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O.求tan∠AOC的值；

(3)、如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N.
①求∠DMC的度数；

②连接AC交DE于点H，求 $\frac{D H}{B C}$ 值.

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