3.3《垂径定理》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练

试卷更新日期：2025-09-21 类型：同步测试

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一、基础应用

1. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离 $O E = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径长为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、5 D、 $5 \sqrt{2}$

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2. 如图， $⊙ O$ 的半径是3，点O到 $A B$ 的距离是2，弦 $A B$ 的长是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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3. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B = 8$ ， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $C D ⊥ A B$ ，垂足为P，且 $B P : A P = 1 : 3$ ，则 $C D$ 的长为（）．

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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4. 如图所示，⊙O的半径OB 垂直弦AC 于点D.若AC=16，OD=6，则BD的长为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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5. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位： $cm$ ），则该铁球的直径为（）

A、 $4 cm$ B、 $8 cm$ C、 $5 cm$ D、 $10 cm$

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6. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的直径为 $20 cm$ ，截面圆的圆心 $O$ 到水面的距离 $O C$ 为 $6 cm$ ，则水面宽 $A B$ 为 $cm$ ．

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7. 如图所示，已知 $⊙ O$ 的半径为10， $O M ⊥ A B$ ， $A B = 16$ ，则线段 $O M$ 的长为．

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8. 如图，在 $⊙ O$ 中的半径 $O A = 5 c m$ ，圆心 $O$ 到弦 $A B$ 的距离为 $3 c m$ ，则弦 $A B$ 的长度为 $c m$ ．

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9. 如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．

(1)、求证：AC=BD；

(2)、若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长

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二、能力提升

10. 如图，在 $⊙ O$ 中， $C D$ 是直径， $A B$ 是弦， $A B ⊥ C D$ 于M， $A B = 8 ， O C = 5$ ，则 $M D$ 的长为.

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11. 如图，点 $A$ 是以原点 $O$ 为圆心的圆与 $x$ 轴的一个交点，直线 $y = k x + 2 k + 2$ 交 $⊙ O$ 于 $B, C$ 两点，已知弦 $B C$ 的最小值为 2，则点 $A$ 的坐标为( )

A、(2，0) B、 $(\sqrt{5}, 0)$ C、(3，0) D、 $(2 \sqrt{3}, 0)$

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12. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D ， E ，量出半径OC＝5cm ，弦DE＝8cm ，则直尺的宽度为（）

A、3cm B、4cm C、5cm D、6cm

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13. 如图，已知 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ，弦 $A B$ 与弦 $C D$ 位于圆心 $O$ 的异侧， $A B ∥ C D$ ， $C D = 6$ ，在 $A B$ 上取点 $E$ ，连结 $E O$ 并延长交 $C D$ 于点 $F$ ．若 $O E : O F = 1 : 2$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $12$ B、 $2 \sqrt{21}$ C、 $6$ D、 $\sqrt{21}$

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14. 清康熙《新昌县志》载“光霁桥，在县治东北”，今其遗址位于新昌岙桥里，光霁桥为单孔圆弧石拱桥，如图1，已知桥净跨度 $A C$ 约6米；矢高 $B D$ 约2.5米，如图2，则光霁桥桥拱圆弧的半径为（）

A、 $2.95$ 米 B、3米 C、 $3.05$ 米 D、 $3.5$ 米

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15. 如图，水暖管横截面是圆，半径r=5mm的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为8 mm，则积水的最大深度 CD（CD<r）是mm.

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16. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $13 cm$ ，弦 $A B ∥ C D$ ， $A B = 24 cm$ ， $C D = 10 cm$ ，则 $A B$ 、 $C D$ 之间的距离为．

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17. 如图，⊙O的半径为10，P是弦AB上一动点，若AB=16，则OP的取值范围是

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18. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 $O$ 为原点建立直角坐标系.

(1)、过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的圆的圆心 $M$ 坐标为；

(2)、请通过计算判断点 $D (- 3, - 2)$ 与 $⊙ M$ 的位置关系.

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19. 如图， $O A = O B$ ， AB交 $⊙ O$ 于点C ， D ， OE是半径，且 $O E ⊥ A B$ 于点F ．

(1)、求证： $A C = B D$ ．

(2)、若 $C D = 4$ ， $E F = 1$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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20. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8.

(1)、求⊙O的半径长；

(2)、连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长.

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三、综合拓展

21. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.

(1)、求圆弧所在的圆的半径r的长；

(2)、当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？

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22. 根据以下情境信息，探索完成任务．

公路涵洞改造方案的设计与解决
情境1	图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点 $O$ 的劣弧 $A E D$ 和矩形 $A B C D$ 构成．测得公路宽 $B C = 12 m$ ，涵洞直壁高 $A B = 2 m$ ，涵洞顶端 $E$ 高出道路（ $B C$ ） $6 m$ （即 $E G = 6 m$ ）．
情境2	现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为 $a (m)$ 的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽 $B C = 20 m$ ，涵洞直壁高 $A B$ 和涵洞顶端 $E$ 到 $B C$ 的距离保持不变．
改造方案
方案一	如图4，将涵洞上半部分劣弧 $A E D$ 改造成顶点为 $E$ 的抛物线一部分的形式．
方案二	如图5，将涵洞上半部分劣弧 $A E D$ 改造成仍为劣弧的形式
问题解决
任务1	按方案一改造	以点 $G$ 为坐标原点， $B C$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	按方案二改造	求涵洞上半部分劣弧 $A E D$ 所在圆的半径．
任务3	隔离带最大宽度 $a$ 的确定	要使高 $5.5 m$ ，宽 $2.3 m$ 的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下 $a$ 的最大值（ $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{57} \approx 7.55$ ，结果精确到 $0.1 m$ ）．

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一、基础应用

二、能力提升

三、综合拓展

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