第四章《一元一次方程》提升卷—苏科版数学七（上）单元测

试卷更新日期：2025-09-21 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.

1. 如果甲、乙、丙三个村合修一段水渠，计划出工65人，按各村受益土地面积3：4：6出工，求各村应出工的人数. ①设甲、乙、丙三村分别派3x，4x，6x人，依题意可得3x+4x+6x=65； ②设甲村派x人，依题意得x+4x+6x=65； ③设甲村派x人，依题意得x+ $\frac{4}{3}$ x+2x=65； ④设丙村派x人，依题意得3x+4x+x=65.上面所列方程中正确的是( )

A、①② B、②③ C、③④ D、①③

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2. 有下列各式：①4+8=12；②5y+8；③2x²+x=1；④2x²-5x-1；⑤|x|+1=2； $⑥ \frac{6}{y} =$ 6y-9。其中属于方程的是( )

A、①③⑤ B、②④ C、③⑤⑥ D、①④⑥

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3. 若不论 $k$ 取什么实数，关于 $x$ 的方程 $\frac{2 k x + a}{3} - \frac{x - b k}{6} = 1$ （ $a$ 、 $b$ 常数）的解总是 $x = 1$ ，则 $a + b$ 的值是（）

A、 $- 0.5$ B、 $0.5$ C、 $- 1.5$ D、 $1$

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4. 已知m，n都是质数，若关于x的方程 mx+5n=97的解为3，则 $m - n^{4} =$ （）

A、0 B、3 C、5 D、13

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5. 设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（）

A、▲▲▲▲ B、▲▲▲▲▲ C、●●▲ D、●▲▲▲

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6. 我国古代的“河图”是由 $3 \times 3$ 的方格构成的，每个方格内均有．数目（个数为1～9）不同的点图，用实心点“●”表示正数，空心点“○”表示负数．每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 长方形 $R_{1}, R_{2}$ 和正方形 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 3按如图方式摆放成一个长为3322、宽为2020的长方形，则 S₂的边长为( ).

A、651 B、655 C、656 D、662 E、666

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8. 现有m辆客车、n个人．若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车：若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车据此列出下列四个等式：① $40 m + 10 = 43 m - 1$ ；② $\frac{n + 10}{40} = \frac{n + 1}{43}$ ；③ $\frac{n - 10}{40} = \frac{n - 1}{43}$ ；④ $40 m + 10 = 43 m + 1$ ．其中正确的是( )

A、①② B、②④ C、②③ D、③④

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二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.只要求填出最后结果.

9. 已知x=-3 是一元一次方程 3-ax=x的解，则a=.

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10. 代数式kx+4b（k≠0，且k、b为常数）的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时代数式kx+4b对应的值，则关于x的方程 $\frac{1}{2} k x = 2 (1 - b)$ 的解为.
x
-8
-4
0
4
8
kx+4b
4
6
8
10
12

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11. 已知关于x的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k=.

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12. 我们规定两种新运算“*”和“ $∆$ ”，其规则为a*b= ab+a-b， $a ∆ b = \frac{a - b}{2}$ ，则关于x的方程5 $∆$ (3*x)=3的解是.

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13. 蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的 $1.5$ 倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共 $30 g$ ．设蛋白质的含量为 $x g$ ，脂肪的含量为 $y g$ ，可列出方程为．

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14. 如果m ， n为常数，关于x的方程 $2 (k x + 2 n) - 3 = \frac{x - k m}{2}$ ，无论k为何值，方程的解总是 $x = 2$ ，则 $m n =$ ．

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15. 小华在计算 $(- 30) \div ☆ \times \frac{2}{5}$ 时（☆代表一个有理数），误将“ $\div$ ”看成“ $+$ ”，按照正确的运算顺序计算，结果为 $- 26$ ，则 $(- 30) \div ☆ \times \frac{2}{5}$ 的正确结果是．

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16. 对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号 min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{2，-3}=-3。按照这个规定，方程min{x，-x}=-3x-12的解为。

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17. 如图的号码是由12位数字组成的，每一位数字写在下面的方格中，若任何相邻的三个数字之和都等于12，则x的值为.

9

x

﹣2

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18. 一块长方形的瓷砖标准尺寸为 $0.6 m \times 1.2 m$ ，出于美观和保护瓷砖等原因，需要在瓷砖周边以及瓷砖之间的缝隙（缝隙宽度忽略不计）中填入美缝剂，例如图1是由两块瓷砖铺设而成，需要在 $A B$ 、 $B E$ 、 $E F$ 、 $A F$ 、 $C D$ 处共填入 $6 m$ 的美缝剂．如果地面按图2所示的方式铺设瓷砖，当铺设5块瓷砖时，需填入 $m$ 的美缝剂．现在按照相同的方式给一条宽为 $1.2 m$ 的走廊地面铺设瓷砖后，共填入了 $49.2 m$ 的美缝剂，则该走廊的面积是 $m^{2}$ ．

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三、解答题：本大题10小题，共96分.

19. 解方程：

(1)、 $4 + 2 (x - 3) = x$ ；

(2)、 $\frac{2 x - 1}{0.7} + \frac{1}{7} = \frac{x}{0.3}$ ．

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20. 用好错题本可以有效地积累解题方法、技巧，把握解题策略，减少再错误的可能．下面是嘉淇错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务．

解方程： $\frac{x + 1}{2} - x = 2 + \frac{2 - x}{4}$ ．

解：去分母，得 $2 (x + 1) - 4 x = 8 + (2 - x)$ ， …第一步

去括号，得 $2 x + 2 - 4 x = 8 + 2 - x$ ， …第二步

移项，得 $2 x - 4 x - x = 8 + 2 + 2$ ， …第三步

合并同类项，得 $- 3 x = 12$ ， …第四步

系数化为1，得 $x = - 4$ ． …第五步

任务一：

（1）填空：①以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是______．

②第______步开始出错，这一步错误的原因是______．

（2）纠正上述错误，请写出该方程的正确解答过程．

任务二：

（3）请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项提一条建议．

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21. 讨论关于x的方程|x-2|+|x-5|=a 的解的情况.

(1)、当a＞3时，原方程有两解.

(2)、当a=3时，原方程有无数解（2≤x≤5）.

(3)、当a＜3时，原方程无解.

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22. 用“ $\oplus$ ”和“ $Δ$ ”定义一种新运算：对于任意有理数 $m ， n ， p$ ，规定： $m \oplus n Δ p = |m - p| + |n - p|$ ，如： $4 \oplus 3 Δ 1 = |4 - 1| + |3 - 1| = 5$ ．

(1)、计算： $(- 5) \oplus 7 Δ 1 =$ ____________．

(2)、若 $a \oplus 3 Δ 2 = 4$ ，则 $a =$ ____________．

(3)、若 $x_{0} \oplus x_{1} Δ 1 = 1$ ， $x_{1} \oplus x_{2} Δ 2 = 1$ ， $x_{2} \oplus x_{3} Δ 3 = 1$ ， $\dots$ ， $x_{30} \oplus x_{31} Δ 31 = 1$ ，当 $0 < x_{0} < 1$ 时，求 $x_{0} + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{30}$ 的值（用含 $x_{0}$ 的式子表示）．

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23. 有一个数学游戏，如图，一个数从 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算到下一个位置.例如：将3按照 $B \to C$ （或 $C \to B$ ）的顺序进行运算，即3经过“乘以 $- 2$ ”的运算得出结果 $- 6$ .

(1)、将 $- 2$ 按照 $A \to B \to C \to A$ 的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果.

(2)、将一个数按照 $A \to C \to B \to A$ 的顺序进行运算，发现运算结果为1.求这个数.

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24. 阅读与理解：
定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“美好方程”。例如：方程2x-1=3的解为x=2，方程x+1=0的解为x=-1，两个方程的解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”。

(1)、请判断方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3是否互为“美好方程”，并说明理由。

(2)、若关于x的方程 $\frac{x}{2} + m = 0$ 与方程3x=x+4互为“美好方程”，求m的值。

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25. 【阅读理解】甲、乙两人分别从 A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，两人沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经过0.4h 相遇.已知在相遇时乙比甲多行驶了14.4k m，相遇后经0.1 h乙到达A地.问：甲、乙两人的速度分别是多少?
【问题分析】可以画如图所示的示意图来分析本题中的数量关系.
从图中可得到如下的相等关系：
甲行驶0.4 h的路程=乙行驶0.1 h的路程.
甲行驶0.4h的路程+14.4km=乙行驶0.4h的路程.
根据这两个相等关系，可得到甲、乙速度的关系，设元列出方程即可.

(1)、【问题解决】请你列方程解答“阅读理解”中的问题.

(2)、【能力提升】对于上题，若乙出发0.2 h后行驶速度减少10 km/h，则甲出发后经过多少小时两人相距2km?

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26.

活动目标：计算水费与用水量
素材1	为增强公民节水意识，合理利用水资源，采用“阶梯计价”.
素材2
素材3	某用户 2023年2月份用水15 吨，则各种费用如下：
问题解决
⑴任务1	确定污水处理费	已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元?
⑵任务2	确定水费	某用户 2023年11月用水a 吨，则应缴水费多少元?
⑶任务3	确定用水量	如果该用户2023年5，6月份共用水42吨(6月份用水量超过5月份用水量)，共缴水费209.01元，则该用户5，6月份各用水多少吨?

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27. 综合实践
【素材】某商家促销电动车的方案为：A档电动车8折优惠，B档一次性降价600元．年底在原促销基础上再增加以下优惠：
新车原价
A档：2000元~3000元（含2000元，不含3000元）
B档：3000元及以上
减免
200元
300元
【问题】

(1)、若设原价为 $x$ 元，请用含 $x$ 的代数式填写实付价．
新车原价
A档：2000元~3000元（含2000元，不含3000元）
B档：3000元及以上
实付价
___________元
___________元

(2)、用2120元能购买到原价为多少元的电动车？

(3)、甲买了A档电动车，乙买了B档电动车，以下是他们的对话．
求甲、乙的实付价分别是多少元？

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28. 将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段．
【阅读材料】
“碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以 $1 m / s$ 的速度自西向东运动，乙木块以 $2 m / s$ 的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以 $2 m / s$ 的速度自东向西运动，乙木块立即变为 $1 m / s$ 的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换．
【情境呈现】
如图1，在一个长 $20 dm$ 的轨道上，两个小铁球分别以 $4 dm / s$ 、 $1 dm / s$ 的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道．
【情境转化】
为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点 $P$ 从原点 $O$ 点出发，沿正方向以4个单位长度 $/ s$ 的速度匀速运动，点 $Q$ 从 $A$ 点出发，沿负方向以1个单位长度 $/ s$ 的速度匀速运动．若点运动到线段 $O A$ 之外，则认为小球离开轨道．已知 $O A = 20$ ．
【问题解决】
若两小球（ $P$ 、 $Q$ 两点）同时出发， $P$ 、 $Q$ 两点在轨道上的运动时间分别为 $t_{P}$ 、 $t_{Q}$ 秒，请回答以下问题：

(1)、如图3，两小球第一次相遇时， $t_{P} = t_{Q} =$ _____．根据计算，我们可以得知 $Q$ 点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间， $t_{P} = t_{Q} =$ _____．

(2)、如图4，在 $A$ 点所在位置放置挡板，则 $Q$ 点代表的小球在到达 $A$ 点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时 $t_{P}$ 的值．

(3)、在（2）的条件下，将轨道沿射线 $A O$ 的方向进行延长，设延长至 $B$ 点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即 $O B$ 的长度为何值时），才能使得 $t_{Q} = 3 t_{P}$ ？

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新车原价	A档：2000元~3000元（含2000元，不含3000元）	B档：3000元及以上
减免	200元	300元

x	-8	-4	0	4	8
kx+4b	4	6	8	10	12

新车原价	A档：2000元~3000元（含2000元，不含3000元）	B档：3000元及以上
实付价	___________元	___________元