第十五章《轴对称图形和等腰三角形》提升卷—沪科版数学八（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-09-21 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.

1. 如图，弹性小球从点 $P$ 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为 $Q$ ，第2次碰到矩形的边时的点为 $M$ ， ……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（）

A、点 $P$ B、点 $Q$ C、点 $M$ D、点 $N$

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2. 如图，在平面直角坐标系中，对 $△ A B C$ 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是 $(1, 2)$ ，则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（）

A、 $(1, - 2)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(1, 2)$

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3. 风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于东周春秋时期，距今已有2 000多年的历史.如图是一款风筝骨架的简化图，已知 $A B = A D$ ， $B C = C D$ ， $A C = 90 c m$ ， $B D = 60 c m$ ，制作这个风筝需要的布料至少为（）

A、 $1800 {c m}^{2}$ B、 $5400 {c m}^{2}$ C、 $2700 {c m}^{2}$ D、 $1200 {c m}^{2}$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 72 °$ ， $∠ C = 36 °$ ，分别以点 $A$ 和点 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧相交 $A C$ 的两侧于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $M N$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ ，则 $∠ B A D$ 的度数为（　　）

A、 $40 °$ B、 $38 °$ C、 $36 °$ D、 $32 °$

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5. 在学习了角平分线的相关知识后，小华和小丽分别设计了一种作一个角的平分线的方法：

小华

小丽

在∠AOB 中，将两把完全相同的直尺按照如图①所示的方式摆放，则射线 OP为∠AOB 的平分线.

图①

将两个完全相同的等腰直角三角尺按如图②所示摆放，使两个三角尺的斜边分别和∠ABC的两边重叠，两个三角尺的直角顶点重合为顶点P，作射线 BP，则 BP 为∠ABC的角平分线.

图②

则两位同学的作法（）

A、小华正确，小丽错误 B、小华错误，小丽正确 C、两人均正确 D、两人均错误

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6. 下面是作业本上的一道习题，小可，小雨，小齐，小梦四位同学的作法中，错误的是( )
题目：
如图，在△ABC 中，∠B=80°，∠C=40°，借助尺规，在直线AC 上找一点 D，连接 BD，使得∠CBD=∠C.

A、小可的作法 B、小雨的作法 C、小齐的作法 D、小梦的作法

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7. 如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）

A、8个 B、7个 C、6个 D、5个

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8. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF.其中，正确的个数是( )

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. “一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形 $A B C$ ， $A B = A C$ ， D是边 $B C$ 上的一点．下列条件不能说明 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线的是（）

A、 $∠ D A B = ∠ D A C$ B、 $A D ⊥ B D$ C、 $B C = 2 A D$ D、 $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 的周长相等

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10. 如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE ．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（）

A、θ=2α+γ B、θ=180°﹣α﹣γ C、β= $90 ° + \frac{γ}{2}$ D、θ=2α+2β﹣180°

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11. 已知，如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A E = C D$ ， $B Q ⊥ A D$ 于 $Q$ ， $B E$ 交 $A D$ 于点 $P$ ，下列说法：① $∠ A P E = ∠ C$ ， ② $A Q = B Q$ ， ③ $B P = 2 P Q$ ， ④ $A E + B D = A B$ ，其正确的结论有（　　）．

A、①②④ B、①②③ C、②③④ D、①③④

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12. 如图，等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD=AE，BE 和CD 交于点N，AF⊥BE，FG⊥CD 交 BE 的延长线于点 G.下列说法：①∠ABE=∠FAC；②AN 垂直平分BC；③GE=GM；④BG=AF+FG，其中正确的个数是( ).

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.

13. 镜中像 站在一个平面镜面前，大家总能看到自己的像.如果你站在两个有夹角的平面镜前，通常镜子中能看到不止两个你的像.那么当两个平面镜的夹角为60°时，共可以呈现个你的像.

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14. 如图，已知 $A B$ 平分 $∠ C A D$ ， $A C = A D$ ， $E$ 在 $A B$ 上，结论：① $B C = B D$ ；② $C E = D E$ ；③ $B A$ 平分 $∠ C B D$ ；④ $A B$ 所在的直线是 $C D$ 的垂直平分线．其中正确的是（填序号）

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15. 如图所示， $∠ A B C$ 和 $∠ A C D$ 的角平分线相交于点P， $∠ A = 64 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数为．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ C A B = 60 °$ ，若点 $G$ 是直线 $B C$ 上一动点，连接 $A G$ ，以 $A G$ 为边作等边三角形 $A G M$ ，若 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，求 $C M$ 的最小距离为．

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三、解答题：本大题共8小题，共68分.

17. 如图，在平面直角坐标系 $O x y$ 中； $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 2, 1)$ ， $B (- 4, 5)$ ， $C (- 5, 2)$ ．

(1)、请画出将 $△ A B C$ 向右平移7个单位得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、请画出与 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出 $B_{2}$ 的坐标；

(3)、在 $x$ 轴上找一点 $P$ 使得 $△ A A_{2} P$ 的面积为3，直接写出点 $P$ 的坐标．

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18. 第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是4G、3G和2G系统后的延伸.5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接．县电信部门要修建一座5G信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等．发射塔点G应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（请保留作图痕迹，并标注出点G，否则扣分．）

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19. 如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线 l 对称的点.如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹.

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20. 如图，已知点 $P$ 在 $∠ A O B$ 的内部，且点 $P$ 与点 $M$ 关于 $O A$ 对称， $P M$ 交 $O A$ 于点 $Q$ ，点 $P$ 与点 $N$ 关于 $O B$ 对称， $P N$ 交 $O B$ 于点 $R ， M N$ 分别交 $O A ， O B$ 于点 $E ， F$ ．

(1)、连接 $P E ， P F$ ，若 $M N = 15$ ，求 $△ P E F$ 的周长；

(2)、若 $P M = P N$ ，求证： $O P$ 平分 $∠ A O B$ ．

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21. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板 $A B$ 固定在支撑轴端点 $C$ 处， $C D ⊥ A B$ ，支撑轴长 $C D = 16 cm$ ，支撑轴 $C D$ 与底座 $D E$ 所成的角 $∠ C D E = 45 °$ ．

(1)、求端点 $C$ 到底座 $D E$ 的距离；

(2)、如图3，为了阅读舒适，将 $C D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $15 °$ 后，点 $B$ 恰好落在直线 $D E$ 上，问：端点 $C$ 到底座 $D E$ 的距离减少了多少？

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22. 如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且 BD=DE.

(1)、如果∠BAE= 40°，那么∠B=°　，∠C=°　；

(2)、如果△ABC的周长为13cm，AC=6cm，那么△ABE的周长=cm；

(3)、你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论．

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23. 【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．

(1)、【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．

(2)、如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；

(3)、【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．

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24. 【阅读材料】证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质.如果两条线段不在同一个三角形中，且所在三角形明显不全等，此时就需要添加辅助线来构造全等三角形.

(1)、【理解应用】如图(1)所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD>BD，连接AD，小明对△ABC进行了如下操作：在CD上取一点E，使得AE=AD，连接AE，则可证明△ABD≌△ACE，请你补充小明操作过程的证明；

(2)、【类比探究】如图(2)所示，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC+∠ADC=180°，求证：CD=CB；

(3)、【拓展应用】如图(3)所示，已知△ABC是边长为5 cm的等边三角形，点E在CA的延长线上，且AE=1.5 cm，连接EB，在线段BC上取点F，连接EF，使得EB=EF，请直接写出BF的长.

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