第十三章《三角形中的边角关系、命题与证明》提升卷—沪科版数学八（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-09-21 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.

1. 下列语句是命题的是（）

A、把 $△ A B C$ 绕着点A旋转 $60 °$ B、三角形三个角的平分线的交点是这个三角形的重心吗？ C、作 $△ A B C$ 的 $A B$ 边上的高 D、三角形一个外角大于这个三角形的任何一个内角

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2. 对于一次函数 $y = 2 - 3 x$ ，下列命题是假命题的是（）

A、函数值随自变量的增大而减小 B、图象不经过第三象限 C、向左平移2个单位后经过原点 D、图象与y轴交于点 $(0, 2)$

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3. 下列命题的逆命题是真命题的是（）

A、如果 $a^{2} = b^{2}$ ，那么 $a = b$ B、如果两个角都是直角，那么这两个角相等 C、对顶角相等 D、相等的角是内错角

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4. 能说明命题“若x为无理数，则x²也是无理数”是假命题的反例是（）

A、 $x = \sqrt{2} - 1$ B、 $x = \sqrt{2} + 1$ C、 $x = 3 \sqrt{2}$ D、 $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

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5. 对于命题“如果 $|a| = |b|$ ，那么 $a = b$ ”，能说明该命题为假命题的反例是（）

A、 $a = 0$ ， $b = 0$ B、 $a = 1$ ， $b = 1$ C、 $a = - 1$ ， $b = 1$ D、 $a = 1$ ， $b = 2$

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6. 某班有20名同学参加围棋、象棋比赛.甲说：只参加一项的人数大于14人；乙说：两项都参加的人数小于5人.对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是( ).

A、若甲对，则乙对 B、若乙对，则甲对 C、若乙错，则甲错 D、若甲错，则乙对

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7. 如图所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）

A、40° B、45° C、50° D、55°

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8. 如图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是( )

A、 B、 C、 D、

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9. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰 $△ A B C$ 的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ 或2 D、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{1}{2}$

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10. 如图，在同一平面内将15cm长的细铁丝AB弯折成一个三角形.

（1）量出AP = 4cm：（2）在点P右侧取一点Q，使PQ>4cm；（3）将AP向右翻折，BQ向左翻折.若要使A，B两点能在点M处重合，则PQ长可能为（）

A、7cm B、8cm C、9cm D、10cm

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11. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到A₁ ，第2次移动到A₂……第n次移动到 An，则△OA₂A₂₀₁₈的面积是（）.

A、 $504 m^{2}$ B、 $\frac{1009}{2} m^{2}$ C、 $\frac{1011}{2} m^{2}$ D、 $1009 m^{2}$

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12. 如图， $∠ A B C = ∠ A C B$ ， $B D$ 、 $C D$ 、 $A D$ 分别平分 $∠ A B C$ 、 $∠ A C F$ 、 $∠ E A C$ ．以下结论，其中正确的是（）
① $A D ∥ B C$ ；② $∠ A D B = \frac{1}{2} ∠ A C B$ ；③ $∠ B A C = 2 ∠ B D C$ ；④ $∠ A D C + ∠ A B D = 90 °$ ．

A、①② B、②③④ C、①③④ D、①②③④

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二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.

13. 把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：.

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14. 下列命题中逆命题成立的有．（填序号）．
①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果 $a b > 0$ ，那么 $a < 0$ ， $b < 0$ ； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．

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15. 如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3 ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ A C B = 42 °$ ， D为边BC延长线上一点，BF平分 $∠ A B C$ ， E为射线BF上一点．若直线CE垂直于 $△ A B C$ 的一边，则 $∠ B E C$ 的度数为．

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三、解答题：本大题共8小题，共68分

17. 如图是 $7 \times 6$ 的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1， $△ A B C$ 的三个顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹．

图1图2

(1)、三角形 $A B C$ 的面积为；

(2)、在图1中画出 $A B$ 边上高 $C H$ ；

(3)、在图2中作出 $△ B A C$ 的角平分线 $A P$ ．

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18. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某兴趣小组统计阅读过这四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
①阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
②阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
③阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数.
若阅读过《三国演义》的人数为4，设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a，b均为整数).

(1)、根据题意列出不等式.

(2)、请根据以上推理，求出阅读过《水浒传》的人数.

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C > ∠ A B C$ ，三个内角的平分线交于点O．

(1)、若 $∠ B C A = 80 °$ ，求 $∠ B O A$ 的度数；

(2)、过点O作 $O D ⊥ O C$ ，交 $A C$ 于点D．试说明： $∠ A D O = ∠ A O B$ ．

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20. 如图，△ABC的三条角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI，分别交AB，AC于点D，E.

(1)、请你通过画图、度量，填写下表(图画在草稿纸上，并尽量画准确)
∠BAC的度数
30°
64°
80°
120°
∠BIC的度数
∠BDI的度数

(2)、根据表格中的数据，猜想∠BIC与∠BDI之间的数量关系，并说明理由.

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21. 如图，直线 $l_{1}$ 的解析表达式为： $y = - 3 x + 3$ ，且 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，直线 $l_{2}$ 经过点 $A$ ， $B$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交于点 $C$ ．

(1)、点 $D$ 的坐标；

(2)、求直线 $l_{2}$ 的表达式；

(3)、求 $△ A D C$ 的面积；

(4)、在直线 $l_{2}$ 上存在异于点 $C$ 的另一点 $P$ ，使得 $△ A D P$ 的面积是 $△ A D C$ 面积的2倍，求点 $P$ 的坐标．

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22. 如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A 跑到点 B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B 前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B.

(1)、若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢?请说明理由.
以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整；
解：乌龟的路线更短，理由如下：
如图②，延长AD交 BC 于点 P，
在 $△ A P C$ 中，AC+CP>AP，
$∴ A C + C P > A D + D P,$
…

(2)、请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由.

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23. 如图，点E在平行线AB，CD之间，且在线段AC的左侧.

(1)、求证：∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.

(2)、若点E向右移动到线段AC的右侧，此时∠BAE，∠AEC，∠ECD之间的关系仍然满足(1)中的结论吗?若满足，给出证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明.(要求：画出相应的图形)

(3)、继续移动点E的位置，还能得到哪些新论断?写出你的论断.

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24. 综合与探究：

(1)、【情境引入】
如图1，BD，CD分别是OABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，证明：∠D=90°+ $\frac{1}{2}$ ∠A．

(2)、【深入探究】
①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ▲ .
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．

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∠BAC的度数	30°	64°	80°	120°
∠BIC的度数
∠BDI的度数