浙江省九年级上学期数学期中仿真模拟试题（三）

试卷更新日期：2025-09-18 类型：期中考试

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一、选择题（本大题有10题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）

1. 下列函数中， $y$ 是 $x$ 的二次函数的是（）

A、 $y = 4 x$ B、 $y = 2 x - 1$ C、 $y = x^{2} - 3$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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2. 已知 $\frac{x}{y} = \frac{3}{4},$ 则下列等式中，不成立的是（ )

A、 $\frac{x}{x + y} = \frac{3}{7}$ B、 $B . \frac{x - y}{y} = \frac{1}{4}$ C、 $\frac{x + 3 a}{y + 4 a} = \frac{3}{4} (y \neq - 4 a)$ D、4x=3y

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3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则点 $(a, b + c)$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 如图，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 与 $A B$ 交于点E，连结 $O D 、 B C$ ，设 $∠ A O D = α, ∠ B = β$ ，则 $∠ A E D =$ （）

A、 $α + β$ B、 $90 + \frac{α}{2} - β$ C、 $180 - α - β$ D、 $90 + \frac{α}{2} + β$

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6. 已知点 $A (- 4, y_{1})$ ， $B (- 2, y_{2})$ ， $C (3, y_{3})$ 都在二次函数 $y = 2 x^{2}$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5, B C = 8$ ，点 $D$ 在AB边上，连结CD，点 $E$ 是CD的中点，连结AE．若 $A B ⊥ A E$ ，则AE的长是（）

A、2 B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{8}{3}$

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8. 如图，点 $C$ ， $D$ 在半圆 $O$ 上， $\overset{⌢}{A C} = 2 \overset{⌢}{C D} = 2 \overset{⌢}{B D}$ ， $A D ， B C$ 相交于点 $E$ ，则 $\frac{D E}{A E}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

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9. 已知正比例函数 $y = k x (k > 0)$ 与二次函数 $y = x^{2} - 3$ 的图象相交于 $A, B$ 两点．若 $A, B$ 两点的横坐标分别为 $p, q$ ，则 $p \cdot q$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $3$ D、 $\frac{3}{2}$

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10. 如图，在半圆O中，直径 $A B = 8$ ， C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若 $∠ A O C = 48 °$ ， $∠ A O D = 72 °$ ，则 $P C + P D$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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二、填空题（本大题有6题，每题3分，共18分．）

11. 一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是。

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12. 如图，在 $2 \times 2$ 的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形 $O A B$ 围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为．

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13. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦矢＋矢 $^{2}$ ），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长 $A B$ ， “矢”等于半径长与圆心 $O$ 到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则 $c o s ∠ O A B$ 的值为．

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14. 若 $- 1 \leq x \leq m$ 时，函数 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ 的最大值为17，则 $m =$ ．

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15. 如图，△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，BC=3，D 是 AB 边上的中点，将△ACB 绕着点 A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 CD 上的点 E 处，点 B 的对应点为 F，边 EF 与边 AB 交于点 G，则 DG 的长．

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16. 已知函数 $y_{1} = k x + 4 k - 2$ （ $k$ 是常数， $k \neq 0$ ）， $y_{2} = a x^{2} + 4 a x - 5 a$ （ $a$ 是常数， $a \neq 0$ ），在同一平面直角坐标系中，若无论 $k$ 为何值，函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的图象总有公共点，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题（本大题有8题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分．）

17. 抛物线y=-x²+（m-1）x+m与y轴交于点（0，3）．

(1)、求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标.

(2)、当x取什么值时，抛物线在x轴下方？

(3)、当x取什么值时，y的值随x的增大而增大．

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18. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，在边 $A C$ 上取点 $E$ ，使 $A D^{2} = A B \times A E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ A D E$ ．

(2)、若 $∠ A D B = 64 °$ ， $∠ C = 42 °$ ，求 $∠ C D E$ 的度数．

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19. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16

(1)、分析表格中的数据发现销量y与单价x之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式．

(2)、若该产品的成本是20元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？

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20. 根据要求作图并证明．

(1)、如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹：
①画一条直径 $A B$ ；
②作 $O B$ 的垂直平分线交 $⊙ O$ 于点C，D；
③连结 $A C ， A D$ ，得到 $△ A C D$ ．

(2)、根据第（1）小题作法，给出 $△ A C D$ 是等边三角形的证明．

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21. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点C的坐标为 $(- \frac{3}{2}, - 10)$ ．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为 $(1, \frac{5}{4})$ ，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．

(1)、求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；

(2)、若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．

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22. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1，点 $E, F$ 在正方形外， $∠ E A D = ∠ D C F = ∠ E B F = 45 °$ ．

(1)、求证： $△ B A E ∽ △ F C B$ ．

(2)、若 $∠ A E D = 90 °$ ，求 $C F$ 的长．

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23. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ （ $a \neq 0$ ， b是实数）图象经过四点： $(- 1, m)$ ， $(1, n)$ ， $(2, 3)$ ， $(4, p)$ ．

(1)、若 $m = 4$ ，
①求二次函数的表达式；
②已知 $x \leq 2 k - 3$ 时，y随x的增大而减小，求k的最大值；

(2)、若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围．

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24. 如图1， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ，过点C作 $C D ∥ A B$ ，交 $⊙ O$ 于D，过D作 $D E ⊥ A B$ 于点E，交 $B C$ 于点M，连结 $A D$ ．

(1)、求证：
① $A D = B C$ ；
② $A D^{2} = 2 A E \cdot A B$ ；

(2)、如图2，若 $M$ 是 $B C$ 中点，求 $\frac{A B}{B C}$ 的值．

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单价（元/件）	30	34	38	40	42
销量（件）	40	32	24	20	16