鲁教版（五四制）数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（1-3章）

试卷更新日期：2025-09-18 类型：期中考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.

1. 反比例函数 $y = - \frac{10}{x}$ 的图象一定经过的点是（　　）

A、 $(1, 10)$ B、 $(- 2, 5)$ C、 $(2, 5)$ D、 $(2, 8)$

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2. 若点 $A (2, y_{1})$ 、 $B (3, y_{2})$ 在反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 图像上，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < 0$ B、 $y_{1} < 0 < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < 0$ D、 $0 < y_{1} < y_{2}$

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3. 如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段 $C A$ 绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形 $B C D E$ 的边 $B E$ 上时，记为点 $A^{'}$ ，则此时线段 $C A$ 扫过的图形的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、6 C、 $\frac{4}{3} π$ D、 $\frac{8}{3} π$

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4. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 7 ， A C = 3$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{7}$

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5. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + 4$ 经过 $(- 2, - 4)$ 和 $(4, n)$ 两点，则n的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 4$ C、2 D、4

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6. 一次函数 $y = a x + b$ 的图象如图所示，则二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象大致是（       ）


A、    B、    C、    D、

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7. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点，当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，矩形ABCD的面积为 $\frac{9}{2}$ ， A点的坐标为（2，1）， $A B ∥ x$ 轴， $A D ∥ y$ 轴，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k ＞ 0)$ 的图像过点B、D，则k的值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、 $\frac{13}{2}$

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9. 如图，点 $A$ 、 $B$ 在双曲线 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 上，直线 $A B$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $C$ 、 $D$ ，与双曲线 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (x < 0)$ 交于点 $E$ ，连接 $O A 、 O B$ ，若 $S_{△ A O C} = 20, A B = 3 B C$ ， $A D = D E$ ，则 $k_{2}$ 的值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 11$ C、 $- 12$ D、 $- 13$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点A的坐标为 $(\frac{1}{2}, n)$ ，与x轴的一个交点的横坐标位于0和 $- 1$ 之间，则以下结论：① $\frac{a b}{c} > 0$ ；② $2 a + c < 0$ ；③若抛物线经过点 $(- 4, y_{1})$ ， $(3, y_{2})$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；④若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 3$ 有实数根，则 $n \geq 3$ ．其中正确的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.

11. ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + 2 \cos 30 ° =$ ．

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12. 关于 $x$ 的方程 $k x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 无解，则反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第象限．

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13. 如图，正方形ABCD的边长为2，点B与原点O重合，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于E、F两点，若 $△ D E F$ 的面积为 $\frac{9}{8}$ ，则k的值

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14. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦矢＋矢 $^{2}$ ），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长 $A B$ ， “矢”等于半径长与圆心 $O$ 到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则 $c o s ∠ O A B$ 的值为．

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15. 如图，△DEF 的三个顶点分别在等边三角形 ABC 的三条边上，BC =4， $∠ E D F = 9 0^{\circ} ， \frac{D E}{D F} = \sqrt{3} ，$ 则 DF 长度的最小值是.

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三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 已知二次函数 $y = a x^{2} + 4 x + c$ ，当 $x = - 2$ 时， $y = - 5$ ；当 $x = 1$ 时， $y = 4$ ．

(1)、求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标；

(2)、此函数图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （ $A$ 在 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，求点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标．

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17. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子 $A B$ 垂直于地面， $A B$ 长8尺．在夏至时，杆子 $A B$ 在太阳光线 $A C$ 照射下产生的日影为 $B C$ ；在冬至时，杆子 $A B$ 在太阳光线 $A D$ 照射下产生的日影为 $B D$ ．已知 $∠ A C B = 73.4 °$ ， $∠ A D B = 26.6 °$ ．

(1)、求冬至时日影 $B D$ 的长度；

(2)、求春分和秋分时日影长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据： $sin 26.6 ° \approx 0.45$ ， $cos 26.6 ° \approx 0.89$ ， $tan 26.6 ° \approx 0.50$ ， $sin 73.4 ° \approx 0.96$ ， $cos 73.4 ° \approx 0.29$ ， $tan 73.4 ° \approx 3.35$ ）

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18. 如图，反比例函数 $y ＝ \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y ＝ x ＋ b$ 的图象交于点 $A (1, 4)$ 、点 $B (- 4, n)$ ．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求 $△ O A B$ 的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 $x$ 的取值范围．

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19. 心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化.开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟）的变化规律如下图所示（其中 $A B$ 、 $C D$ 分别为线段， $C D$ 为双曲线的一部分）．
(1)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知——自主探索，合作交流——总结归纳，巩固提高”.其中重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由.

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20. 如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱 $O A$ 垂直地面 $O B$ ，支架 $C D$ 与 $O A$ 交于点A，支架 $C G ⊥ C D$ 交 $O A$ 于点G，支架 $D E$ 平行地面 $O B$ ，篮筐 $E F$ 与支架 $D E$ 在同一直线上， $O A = 2.7$ 米， $A D = 0.8$ 米， $∠ A G C = 32 °$ ．（参考数据： $\sin 32 ° \approx 0.53$ ， $\cos 32 ° \approx 0.85$ ， $\tan 32 ° \approx 0.62$ ）

(1)、求 $∠ G A C$ 的度数．

(2)、工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．

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21. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ （ $b, c$ 为常数）的图象经过点 $A (3,2)$ ，对称轴是直线 $x = \frac{3}{2}$ 。

(1)、求此二次函数的表达式。

(2)、求二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的最大值。

(3)、当 $0 ⩽ x ⩽ t$ 时，二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的最大值与最小值的差为 $\frac{9}{8}$ ，求 $t$ 的取值范围。

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22. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = a x + 1$ 分别与y轴、x轴相交于点 A， $B (2, 0)$ ，过点A的直线与双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 交于C，D两点（点C在点D的右侧）．

(1)、求a的值及线段 $A B$ 的长；

(2)、过点C作 $C E ⊥ y$ 轴于点E，过点D作 $D F ⊥ x$ 轴于点F，若 $C E = D F = 2$ ，求k的值及 $△ A B D$ 的面积；

(3)、将直线 $A B$ 沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象沿着直线 $y = 4$ 翻折，翻折后的图象交直线 $A G$ 于点M，N（点M在点N左侧），当 $△ A O M$ 与 $△ O G M$ 相似时，求k的值．

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23. 定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于 $k$ 的点叫“ $k$ 阶近轴点”，所有的“ $k$ 阶近轴点”组成的图形记为图形 $W$ ．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．

(1)、下列函数图象上存在“1阶近轴点”的是；
① $y = \frac{1}{x}$ ；② $y = - x + 3$ ；③ $y = x^{2} - 2 x + 3$ ．

(2)、若一次函数 $y = 2 x + m$ 的图像上存在“3阶近轴点”，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、特别地，当点 $P$ 在图形 $W$ 上，且横坐标是纵坐标的 $k$ 倍时，称点 $P$ 是图形 $W$ 的“ $k$ 阶完美点”，若二次函数 $y = a x^{2} - a x - 2 a + 2$ 的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数 $a$ 的取值范围．

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