浙教版数学七年级上学期重难点复习1:绝对值的最值模型

试卷更新日期：2025-09-16 类型：复习试卷

进入出卷网下载

一、两个绝对值的和的最值

1. 代数式 $|x + 3| + |x - 2|$ 的最小值是（）

A、8 B、7 C、6 D、5

查看试题解析
2. $x$ 是数轴上一点表示的数，则 $| x + 2 | + | x - 3 |$ 的最小值是（）

A、1 B、 $- 5$ C、5 D、 $- 1$

查看试题解析
3. 当x变化时，|x-4|+|x+t|有最小值3，则常数t的值为( )

A、-1 B、-7 C、-1或-7 D、3或-1

查看试题解析
4. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-2的点的距离，|x-3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点的距离.当|x+2|+|x-3|取得最小值时，x的取值范围是( )

A、x≤-2 B、-2≤x≤3 C、x≤-2或x≥3 D、x≥3

查看试题解析
5. $|x - 2 |+| x + 3|$ 的最小值是．

查看试题解析
6. |x-3|+|x-5|有最值是，此时x 的取值范围是.

查看试题解析
7. 函数 $y = |x - 1| + |x - a|$ 的最小值为3，则a的值为．

查看试题解析
8. 点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，若x是一个有理数，且-3<x<1，则|x-1|+|x+3|=.
若|x+a|+|x+1|的最小值为 3，则a的值为.

查看试题解析
9. 已知A，B，C三点，它们在数轴上所表示的数分别是5，-3，a。

(1)、求线段AB的长。

(2)、若AC=6，求a的值。

(3)、若d=|a+3|+|a-5|，求d的最小值。

查看试题解析
10. 同学们都知道：|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可以理解为5和—2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助如图的数轴进行以下探索：

(1)、如果|x-2|=5，那么x=.

(2)、由以上探索猜想对于任何有理数x，当|x-3|+|x-6|有最小值时，请写出x满足的条件，并求出最小值是多少.

查看试题解析

二、两个绝对值的差的最值

11. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-1的点的距离，|x-2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么|x+1|-|x-2|的最大值是.

查看试题解析
12. 代数式|x-1|-|x+6|-5 的最大值是.

查看试题解析
13. 如图①，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，表示的数分别为-5，b，4.某同学将刻度尺如图②放置，使数轴上的点 A 对齐刻度0cm，发现点 B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4 cm.

(1)、在图①的数轴上， $A C =$ 个单位长度；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 cm.

(2)、求数轴上点 B 所表示的数b.

(3)、P是图①中数轴上一点，点P 到点A 的距离是到点B 的距离的2倍，求点 P 表示的数.

(4)、若点 Q 在数轴上表示的数为x，则 $| x + 5 | + | x - 4 |$ |的最小值为， |x+5|-|x--4|的最大值为

查看试题解析
14. 数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|.
利用数形结合思想回答下列问题：

(1)、数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为.

(2)、若|x+3|=4，则x=.

(3)、|x-3|-|x+2|最大值为，最小值为.

查看试题解析
15. 小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子 $| x + 1 | + | x - 2 |$ 取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．”
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了。”
小明说：“利用数轴可以解决这个问题。”
他们把数轴分为三段： $x < - 1$ ， $- 1 \leq x \leq 2$ 和 $x > 2$ ，经研究发现，当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，式子 $| x + 1 | + | x - 2 |$ 的最小值为3．
请你根据他们的解题思路解决下面的问题。

(1)、当式子 $| x - 2 | + | x - 4 |$ 取最小值时，最小值是。

(2)、已知 $y = | x + 8 | - | x - 2 |$ ， y的最大值是。

(3)、已知： $| x + 12 | = 3 | x - 8 |$ ，则 $x =$ 。

查看试题解析

三、多个绝对值的和的最值

16. |x+2|+|x-2|+|x-1|的最小值是( )

A、5 B、4 C、3 D、2

查看试题解析
17. 已知x为一切实数，则|x+1|+|x-2|+|x-4|+|x+2|+|x-6|的最小值是( )

A、13 B、15 C、16 D、11

查看试题解析
18. 已知x是正实数，则 $| x - 1 | + | 2 x - 1 | + | 3 x - 1 | + | 4 x - 1 | + | 5 x - 1 |$ 的最小值是( )

A、2 B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、0

查看试题解析
19. 当x 满足（ )时，|1.5x-0.5|+|2.5x-0.5|+|3.5x-0.5|+|4.5x-0.5|+|5.5x-0.5|+|6.5x-0.5|的值取得最小.

A、 $\frac{1}{11} \leq x \leq \frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{9} \leq x \leq \frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{7} \leq x \leq \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{13} \leq x \leq \frac{1}{11}$

查看试题解析
20. |x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c} = - 1$ ，那么 $\frac{| a b |}{a b} + \frac{| b c |}{b c} + \frac{| a c |}{a c} + \frac{| a b c |}{a b c}$ 的值为（）

A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、不确定

查看试题解析
21. $| x + 8 | + | x + 1 | + | x - 3 | + | x - 5 |$ 的最小值为。

查看试题解析
22. 当|x-2|+|x-3|的值最小时，|x-2|+|x-3|-|x-1|的值最大是，最小是.

查看试题解析
23. 求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值.

查看试题解析
24. 我们知道，数轴上 $A 、 B$ 两个点，它们表示的数分别是 $a 、 b$ ，那么 $A 、 B$ 两点之间的距离为 $A B = |a - b|$ ．如 $2$ 与 $3$ 的距离可表示为 $|2 - 3|$ ， $2$ 与 $- 3$ 的距离可表示为 $|2 - (- 3)|$ ．
（ $1$ ） $|x - 2| + |x + 5|$ 的最小值为；
（ $2$ ） $2 |x - 3| + |x + 6| + |x + 4|$ 的最小值为．

查看试题解析
25. 我们知道， $| 3 - 1 |$ 可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理 $| a + 5 |$ 也可理解为a与－5两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成：

(1)、若 $| x - 2 | = 3$ ，则 $x =$ ；

(2)、求 $| x - 1 | + | x + 2 | + | x + 5 |$ 的最小值．

查看试题解析
26. 我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，我们可以把|x|看作|x-0|，所以|x-3|就表示x在数轴上对应的点到3对应的点的距离，|x+1|=|x-(-1)|就表示x在数轴上对应的点到一1对应的点的距离.
由上面绝对值的几何意义，解答下列问题：

(1)、求|x-4|+|x+2|的最小值，并写出此时x的取值情况；

(2)、求|x-3|+|x+2|+|x+6|的最小值，并写出此时x的取值情况；

(3)、已知|x-1|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10，求2x+y的最大值.

查看试题解析
27. 【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道， $| 5 - 2 |$ 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； $| 5 + 2 |$ 可以看作 $| 5 - (- 2) |$ ，表示5与 $- 2$ 的差的绝对值，也可理解为5与 $- 2$ 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用：

(1)、应用一：已知如图，点 $A$ 在数轴上表示为 $- 2$ ，数轴上任意一点 $B$ 表示的数为 $x$ ，则 $A B$ 两点的距离可以表示为，

(2)、应用二：若点 $B$ 表示的整数为 $x$ ，则当 $x$ 为　　时， $| x + 4 |$ 与 $| x - 2 |$ 的值相等；

(3)、应用三： $| x + 5 | + | x - 2 |$ 表示数轴上有理数 $x$ 所对应的点到 $- 5$ 和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出 $| x + 5 | + | x - 2 |$ 的最小值为　　，此时所有符合条件的整数 $x$ 的和为　　

(4)、应用四：求 $| x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | + \dots + | x - 1997 |$ 的最小值为

查看试题解析
28. 我们知道 $|5 - (- 3)|$ 表示 $5$ 与 $- 3$ 之差的绝对值，实际上也可以理解为 $5$ 与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如 $|x - (- 3)|$ 可理解为数轴上表示有理数 $x$ 的点与表示数 $- 3$ 的点之间的距离．试探索：

(1)、若 $|x - 8| = 3$ ，则 $x =$ ；

(2)、若 $|x + 3| + |x - 8| = 15$ ，则满足条件的 $x$ 的值为；

(3)、根据以上探索，猜想对于任何有理数 $x$ ， $|x + 3| + |x - 8|$ 是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

(4)、根据以上探索，猜想对于任何有理数 $x$ ， $|x - 2| + |x - 3| + |x - 5|$ 是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

查看试题解析