第四章《基本平面图形》培优卷—北师大版数学七（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-09-07 类型：单元试卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 从六边形的一个顶点出发，可以画出 $m$ 条对角线，它们将六边形分成 $n$ 个三角形.则 $(m + n)$ 的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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2. 如图，C点是线段AB的中点， $A D = \frac{1}{3} A B, B E = \frac{1}{3} C B$ ，下列结论正确的是（）

A、若AB=a，则CE= $\frac{2}{3}$ a B、若CD=a，则AB=5a C、若CD=a，则DE=2a D、若AB=a，则CD=BE= $\frac{1}{6}$ a

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3. 如图，OC为 $∠ A O B$ 内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分 $∠ A O B$ 的是（）

A、 $∠ A O C = ∠ B O C$ B、 $∠ A O C + ∠ C O B = ∠ A O B$ C、 $∠ A O B = 2 ∠ B O C$ D、 $∠ A O C = \frac{1}{2} ∠ A O B$

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4. 如图，已知 $∠ A O B = 90^{°}$ ， $O C$ 是 $∠ A O B$ 内任意一条射线， $O B, O D$ 分别平分 $∠ C O D$ ， $∠ B O E$ ，下列结论：① $∠ C O D = ∠ B O E$ ；② $∠ C O E = 3 ∠ B O D$ ；③ $∠ B O E = ∠ A O C$ ；④ $∠ A O C + ∠ B O D = 90^{°}$ ，其中正确的有（）

A、①②④ B、①③④ C、①②③ D、②③④

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5. 在综合与实践课上，将∠A 与∠B 两个角的关系记为∠A=n∠B(n>0)，探索n的大小与两个角的类型之间的关系，下列说法中，正确的是 ( )

A、当n=2时，若∠A 为锐角，则∠B 为锐角 B、当n=2时，若∠A为钝角，则∠B为钝角 C、当 $n = \frac{1}{2}$ 时，若∠A为锐角，则∠B为锐角 D、当 $n = \frac{1}{2}$ 时，若∠A 为锐角，则∠B 为钝角

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6. 如图，C，D是线段AB 上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2(MC-DN)；④2MN=AB-CD.其中所有正确的结论是( )

A、①②③ B、③④ C、①②④ D、①②③④

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7. 若线段 $A_{1} A_{2} = 2$ ，在线段 $A_{1} A_{2}$ 的延长线上取一点 $A_{3}$ ，使 $A_{2}$ 是 $A_{1} A_{3}$ 的中点；在线段 $A_{1} A_{3}$ 的延长线上取一点 $A_{4}$ ，使 $A_{3}$ 是 $A_{1} A_{4}$ 的中点；在线段 $A_{1} A_{4}$ 的延长线上取一点 $A_{5}$ ，使 $A_{4}$ 是 $A_{1} A_{5}$ 的中点……，按这样操作下去，线段 $A_{20} A_{21}$ 的长度为（）

A、 $2^{18}$ B、 $2^{19}$ C、 $2^{20}$ D、 $2^{21}$

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8. 定义：从 $∠ A O B$ 的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把 $∠ A O B$ 分成大小为1：2的两部分，射线OC 叫作. $∠ A O B$ 的三等分线.若在 $∠ M O N$ 中，射线OP 是∠MON 的三等分线，射线 OQ 是 $∠ M O P$ 的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON的大小用含x的代数式表示为 ( )

A、 $\frac{9}{4} x$ 或3x或 $\frac{9}{2} x$ B、 $\frac{9}{4} x$ 或3x或9x C、 $\frac{9}{4} x$ 或 $\frac{9}{2} x$ 或9x D、3x或 $\frac{9}{2} x$ 或9x

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9. 在一个圆中任意画三条半径，可以把这个圆分成个不同的扇形.

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10. 我们知道在9时整时，时钟的分针与时针位置如图所示，那么9时开始，到10时之前，经过分钟后，时钟的时针与针的夹角为 $105 °$ .

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11. 平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线.若平面上不同的n个点最多确定21条直线，则n 的值为.

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12. 若∠MON=80°，P 是平面上一点，且OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP.当射线OP 在∠MON 外部绕点O 旋转时，∠AOB=.

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13. 如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是．

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三、解答题（本大题共7小题，共61分）

14. 过同一平面内三个点中的任意两个点画直线，可以画几条？我们可以把它分成两类：如图①，当三点在同一直线上时，可以画1条直线；如图②，当三点不在同一直线上时，可以画3条直线．想一想，过同一平面内四个点中的任意两个点，可以画几条直线？请画出图形．

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15. 如图， $∠ D O E = 50 °$ ．按照下列要求用直尺、量角器继续画图并解决问题：
画出射线 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ，其中 $O E$ 平分 $∠ A O C$ ， $O D$ 平分 $∠ B O C$ ．

(1)、完成图形．

(2)、若 $∠ A O C = 80 °$ ，则∠BOC的大小为______ $°$ ．

(3)、若 $∠ D O E = α$ ， $∠ A O C = 2 β$ （其中 $0 ° < β < α$ ， $0 ° < α + β < 90 °$ ），用含 $α$ ， $β$ 的式子表示出 $∠ B O C$ 的大小为______．

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16. 阅读表格，解决下列问题：
线段AB上的点数n
(包括A，B两点)
图例
线段总
条数 N
3
3=2+1
4
6=3+2+1
5

10=4+3+2+1
6
15=5+4+3+2+1
7

(1)、在表中的空白处分别画出图形，写出结果.

(2)、猜测线段总条数 N 与线段上的点数 n(包括线段的两个端点)的关系是：.

(3)、当n=10时，计算 N的值等于 .

(4)、问题拓展：
①七年级(1)班有45位同学参加聚会，若每两人握一次手问好，那么共握了次手.
②计划从甲市到乙市修建一条高速铁路，在两市之间要停靠6个站点，需要制定m种车票，则m 的值为 .
A. 14 B. 16
C. 30 D. 56

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17. 如图

(1)、【新知理解】
点C在线段AB上，若BC=2AC或AC=2BC，则称C是线段AB 的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段.例如，如图①，线段AB的长度为6，点C在AB 上，AC的长度为2，则 C是线段AB 的其中一个“优点”.
①若C为图①中线段AB的“优点”，AC=6（AC<BC），则AB=；
②在（1）的条件下，若D也是图①中线段AB的“优点”（不同于点 C），则ACBD（填“=”或“≠”）；

(2)、【解决问题】
如图②，在数轴上，点O为原点，点E 表示的数为1，向右平移3个单位长度到达点 F.
①若不同的两点 M，N 都在线段OF 上，且M，N均为线段OF 的“优点”，求线段MN的长；
②如图②，若点G在射线EF上，且线段GF与以E，F，G中某两个点为端点的线段互为“优点”伴侣线段，求点G表示的数（写出所有可能）.

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18. 已知：如图1，OB，OC 分别为锐角. $∠ A O D$ 内部的两条动射线，当OB，OC 运动到如图1的位置时， $∠ A O C + ∠ B O D = 100 °, ∠ A O B + ∠ C O D = 40 ° .$
图1 图2 图3

(1)、求∠BOC 的度数.

(2)、如图2，射线 OM，ON 分别为. $∠ A O B, ∠ C O D$ 的平分线，求 $∠ M O N$ 的度数.

(3)、如图3，若OE，OF 是∠AOD 外部的两条射线，且 $∠ E O B = ∠ C O F = 90 °,$ OP 平分∠EOD，OQ 平分∠AOF，当∠BOC 绕着点O旋转时， $∠ P O Q$ 的大小会不会发生变化? 若不变，求出其度数；若变化，说明理由.

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19. 某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“ $n$ 边形 $(n > 3)$ 共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：
多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数
1
2
3
…
____▲____
多边形对角线的总条数
2
5
9
…
▲

(1)、请在表格中的横线上填上相应的结果；

(2)、求十二边形总共有多少条对角线；

(3)、过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由.

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20. 学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题．

信息1	如下图所示为小明设计的个性手表，时针 $O P$ ，分针 $O Q$ 只在右半表盘来回转动（顺时针转至6的位置再逆时针旋转至12，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示）
信息1
信息2	学校作息时间表	第一节	8：00~8：40	第五节	13：00~13：40
		第二节	8：50~9：30	第六节	13：50~14：35
		大课间	9：30~10：00	第七节	14：45~15：25
		第三节	10：00~10：40	第八节	15：35~16：15
		第四节	10：50~11：35	体活课	16：25~16：55

(1)、如图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为______度．

(2)、已知某天上午第一节为数学课．

①请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为______．

②若在这节数学课中，小明发现某一时刻，时针与分针刚好垂直，则这个时刻左边电子表盘上显示的时间是什么时候？

(3)、若右半表面有一光线

O M

，

O M

始终保持平分

∠ P O Q

．若在某一时刻射线

O M

刚好指向刻度2的位置，此时

O M

的位置记为

O M_{1}

，经过一个小时，射线

O M

的位置记为

O M_{2}

．若

∠ M_{1} O M_{2} < 15 °

，请直接写出当

O M

在

O M_{1}

处时，电子表盘所显示的时间．

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线段AB上的点数n (包括A，B两点)	图例	线段总条数 N
3		3=2+1
4		6=3+2+1
5		10=4+3+2+1
6		15=5+4+3+2+1
7

多边形的边数	4	5	6	…	n
从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数	1	2	3	…	____▲____
多边形对角线的总条数	2	5	9	…	▲