第三章《整式及其加减》培优卷—北师大版数学七（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-09-07 类型：单元试卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 用下列各式分别表示下面几何图形的面积，其中表示正确的有（　　）
① $x (m - x) + x (n - x) + x^{2}$ ② $x m + x (n - x)$
③ $x m + x n - x^{2}$ ④ $m n - (m - x) (n - x)$

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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2. 如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么x+y+z的值是（）

A、1 B、4 C、7 D、9

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3. 某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为 $a$ 的正方体木块中，挖去一个棱长为 $b$ （ $b < a$ ）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为 $S_{甲}$ 、 $S_{乙}$ 、 $S_{丙}$ ，则下列大小关系正确的是（）

A、 $S_{甲} > S_{乙} > S_{丙}$ B、 $S_{甲} > S_{丙} > S_{乙}$ C、 $S_{丙} > S_{乙} > S_{甲}$ D、 $S_{丙} > S_{甲} > S_{乙}$

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4. “杨辉三角”两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两数之和，它给出了 ${(a + b)}^{n}$ （ $n$ 为正整数）的展开式中各代数式前面数字的规律（按 $a$ 的指数由大到小的顺序依次排列， $b$ 的指数由小到大的顺序依次排列）．观察这些数字的规律，求出 ${(a + b)}^{7}$ 的展开式中各代数式前面数字的和为（）

A、32 B、64 C、128 D、136

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5. 观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有4个点，第②个图形中共有12个点，第③个图形中共有24个点，按此规律，第⑧个图形有（）个点．

A、96 B、112 C、144 D、160

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6. 观察下列关于m，n的单项式的特点： $\frac{1}{2}$ m²n， $\frac{2}{3}$ m²n² ， $\frac{3}{4}$ m²n³ ， $\frac{4}{5}$ m²n⁴ ， $\frac{5}{6}$ m²n⁵ ， ……，按此规律，第n个单项式是（）

A、 $\frac{n}{n + 1} m^{2} n^{n}$ B、 $\frac{n}{n + 1} m^{n} n^{n}$ C、 $\frac{n - 1}{n} m^{2} n^{n}$ D、 $\frac{n - 1}{n} m^{n} n^{n}$

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7. 如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 $4 c m$ ，下列说法中正确的有（）
①小长方形的较长边为 $y - 12$ ；
②阴影 $A$ 的较短边和阴影 $B$ 的较短边之和为 $x - y + 4$ ；
③若 $x$ 为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当 $x = 20$ 时，阴影A和阴影B的面积和为定值．

A、①② B、①③ C、①③④ D、①②③

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8. 如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法求和：

\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2020 \times 2021}

，它的值是（）

上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \times 2}$ ① $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \times 3}$ ② $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \times 4}$ ③ $\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4 \times 5}$ ④ ……

继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n \times (n + 1)}$ ．

A、1 B、

\frac{2020}{2021}

C、

\frac{2019}{2020}

D、

\frac{1}{2021}

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9. 已知多项式 $2 a x^{4} + 5 a x^{3} - 13 x^{2} - x^{4} + 2021 + 2 x + b x^{3} - b x^{4} - 13 x^{3}$ 是二次多项式，则 $a^{2} +$ $b^{2} =$ .

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10. 如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为 $a_{1}$ ，第2幅图形中“●”的个数为 $a_{2}$ ，第3幅图形中“●”的个数为 $a_{3}$ ， …，以此类推，则 $\frac{2}{a_{1}} + \frac{2}{a_{3}} + \frac{2}{a_{5}} + \dots + \frac{2}{a_{2023}}$ 的值为．

第1幅图
第2幅图
第3幅图
第4幅图
……

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11. 在计算两位数的平方运算时，我们可以利用“竖式”方式进行快速运算，其步骤如图所示（图1，2，3），现有一个两位数，其十位数字为 $x$ ，在进行平方运算时，部分步骤如图4所示（ $x$ 为小于 $5$ 的正整数），则这个两位数是（用含 $x$ 的代数式表达）．

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12. 下列说法：
①若 $x^{2} = 1$ ，则 $x = \pm 1$ ；
②单项式 $- 2^{2} a b^{2}$ 和多项式 $x^{3} + x^{2}$ 都是五次整式；
③若 $a + b + c > 0$ ， $a b c < 0$ ，则 $\frac{| a |}{| a |} - \frac{b}{| b |} + \frac{| c |}{c} - \frac{| a b c |}{a b c}$ 的结果有两个；
④若 $2 (a x^{2} - x + 2) - (4 x^{2} + 5 x + a)$ 的运算结果中不含 $x^{2}$ 项，则常数项为 $2$ ．其中一定正确的结论是(只填序号)．

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13. 某市用水进行分段计费，每户每月用水量在规定吨数以下的收费标准相同；规定吨数以上的超过部分收费标准相同，以下是某户 $1 - 5$ 月份用水量和交费情况：
月份
1
2
3
4
用水量 $/$ 吨
4
$11$
$12$
$15$
价格 $/$ 元
8
$22$
$25$
$34$
那么每月用水量规定的吨数是吨，若用水 $a$ 吨（ $a$ 大于规定吨数），则应交水费元．

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三、解答题（本大题共7小题，共61分）

14. （1）有这样一道题：“当 $a = 3, b = - \frac{1}{2}$ ，求代数式：7a³﹣6a³b+3a²b+3a³+6a³b﹣3a²b﹣10a³+3的值”；小明细算了一下，提出题中所给的条件 $a = 3, b = - \frac{1}{2}$ 是多余的，请你认真计算一下，认为他的说法是否有道理？
（2）小红做了一道数学题：“已知两个多项式为A、B，其中B=4a²﹣5a﹣6，求A+B的值．”粗心的小红误将“A+B”看成“A﹣B”，结果求出的答案是10a﹣7a²+12，请你帮助小红求出正确的A+B的结果．

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15. 如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点 $A, B, C$ 把数轴分成①②③④四部分，点 $A, B, C$ 对应的数分别是 $a, b, c$ ，已知 $b c < 0$ ．

(1)、请说明原点在第部分；

(2)、若 $A C$ 的长是多项式 $- 2 x^{2} + 5 x + 1$ 的一次项系数， $B C$ 的长是单项式 $- \frac{1}{2} x^{2} y$ 的次数， $b$ 是最大的负整数，求 $a$ ；

(3)、在（2）的条件下，若将点 $C$ 移动2个单位长度到达点 $D$ ，则点 $D$ 表示的数是多少？

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16. 小明有以下8张卡牌，第一组卡牌上标有数，第二组卡牌上标有多项式，请你根据要求完成以下任务．
任务1：请在第一组卡牌中选择3张卡牌，使所标数的积最小，请列出算式并求得结果；
任务2：请在第一组中选择1张卡牌，在第二组中选择2张卡牌，使这3张卡牌上所标的数与多项式相加，化简后结果为二项式，请列出算式并求其结果．

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17. 阅读理解：蕊蕊是一个勤奋好学的学生，她常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘 $11$ 的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”，例如：① $24 \times 11 = 264$ ．计算过程： $24$ 两数拉开，中间相加，即 $2 + 4 = 6$ ，最后结果 $264$ ；② $68 \times 11 = 748$ ．计算过程： $68$ 两数分开，中间相加，即 $6 + 8 = 14$ ，满十进一，最后结果 $748$ ．

(1)、计算：① $23 \times 11 =$ ______，② $87 \times 11 =$ ______；

(2)、若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（ $a + b < 10$ ），将这个两位数乘 $11$ ，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是______，十位数字是______，个位数字是______；（用含a、b的代数式表示）

(3)、请你结合（2），利用所学的知识解释其中原理．

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18. 定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“ $7 S$ 标准多项式”．例如：多项式 $20 x + 8 y$ 的系数和为 $20 + 8 = 28 = 7 \times 4$ ，所以多项式 $20 x + 8 y$ 是“ $7 S$ 标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题：

(1)、在下列多项式中，属于“ $7 S$ 标准多项式”的是；（填写序号）
① $2 x^{2} - 9 x$ ；② $3 a + 5 b$ ；③ $19 x^{2} - 4 x + 2 y - 3 x y$ ．

(2)、若多项式 $4 m x - n y$ 是关于x ， y的“ $7 S$ 标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式 $2 m x + 3 n y$ 也是关于x ， y的“ $7 S$ 标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．

(3)、已知 $A = a - 2 b$ ， $B = 2 b - c$ ， $C = c - d$ ，且 $m A + n B + t C = a - 6 b + 5 c - 3 d$ （其中m ， $n$ ， t均为整数），请证明多项式 $m x + 7 n y + 2 t x y$ 也是关于x ， y的“ $7 S$ 标准多项式”．

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19. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．
价目表
每月用水量
单价
不超出6立方米的部分
2元/米 $^{3}$
超出6立方米但不超出10立方米的部分
4元/米 $^{3}$
超出10立方米的部分
8元/米 $^{3}$
注：水费按月结算

(1)、若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费_______元．

(2)、若某户居民3月份用水a立方米（其中 $6 < a < 10$ ），则该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？

(3)、若某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）．

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20. 《庄子∙天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．
“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题

(1)、请按照“聪慧组”同学的思路填空
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$ ；
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{2^{3}}$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = 1 -$ ________；
猜想：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{10}} = 1 -$ ；

(2)、为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整．
设 $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ $①$
则 $2 S = 2 \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{10}})$
即 $2 S = 2 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{8} + 2 \times \frac{1}{16} + \dots + 2 \times \frac{1}{2^{10}}$
化简得 $2 S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{9}}$ $②$
$② - ①$ 得： $2 S - S = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{9}}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{10}})$
即 $S =$ ___________；
进一步可猜想：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n}} =$ ___________．
通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法．

(3)、请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算： $\frac{2}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{2}{3^{2}} + \dots + \frac{2}{3^{6}}$ （只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为 $1$ 的正方形）

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月份	1	2	3	4
用水量 $/$ 吨	4	$11$	$12$	$15$
价格 $/$ 元	8	$22$	$25$	$34$

价目表
每月用水量	单价
不超出6立方米的部分	2元/米 $^{3}$
超出6立方米但不超出10立方米的部分	4元/米 $^{3}$
超出10立方米的部分	8元/米 $^{3}$
注：水费按月结算


第1幅图	第2幅图	第3幅图	第4幅图	……