第三章《整式及其加减》提升卷—北师大版数学七（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-09-07 类型：单元试卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 下列代数式 $- 1, - \frac{2}{3} a^{2}$ ， $\frac{1}{6} x^{2} y$ ， $3 a + b$ ， 0， $\frac{x - 1}{2}$ 中，单项式的个数有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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2. 下列说法正确的是（　　）

A、 $\frac{1}{2} a^{2} b$ 是二次单项式 B、 $a^{3} + a^{2}$ 是五次二项式 C、 $a^{2} + a - 1$ 的常数项是1 D、 $- \frac{a^{3} b^{2} c}{5}$ 的系数是 $- \frac{1}{5}$

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3. 如图所示的程序计算，若开始输入的值为 $- \frac{1}{2}$ ，则输出的结果y是（　　）

A、25 B、30 C、45 D、40

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4. 4 个杯子叠起来高20cm ， 6个杯子叠起来高26cm ，n 个杯子叠起来的高度可以表示为（）cm 。

A、 $6 n - 10$ B、 $6 n - 4$ C、 $3 n + 11$ D、 $3 n + 8$

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5. 下列去括号正确的是( )

A、a-(-3b+2c)=a-3b+2c B、 $- (x ² + y ²) = - x ² - y ²$ C、 $a ² + (- b + c) = a ² - b - c$ D、2a-3(b-c)=2a-3b+c

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6. 要使 $(a x^{2} - 2 x y + y^{2}) - (- x^{2} + b x y + 4 y^{2}) = 5 x^{2} - 6 x y + c y^{2}$ 始终成立，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值分别是（）

A、 $4$ ， $4$ ， $3$ B、 $- 4$ ， $4$ ， $- 3$ C、 $4$ ， $- 4$ ， $- 3$ D、 $4$ ， $4$ ， $- 3$

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7. 如图，将图 $1$ 中周长为 $72$ 的长方形纸片剪成 $①$ 号、 $②$ 号、 $③$ 号、 $④$ 号四个正方形和 $⑤$ 号长方形，并将它们按图 $2$ 的方式无重叠地放入另一个大长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）

A、 $54$ B、 $52$ C、 $46$ D、 $45$

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8. 一根绳子弯曲成如图所示的形状，当把绳子如图①那样沿虚线a剪1次时，绳子被剪为5段；当把绳子如图②那样沿虚线a，b（b∥a）剪2次时，绳子被剪为9段，若按照上述规律把绳子剪n次，则绳子被剪为（　　）

A、（6n﹣1）段 B、（5n﹣1）段 C、（4n+1）段 D、 $\frac{1 l n - n^{2}}{2}$ 段

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数， $| m | = 2010,$ 则 $\frac{a + b}{m} + c d - m =$ .

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10. 若单项式 $\frac{5}{7} a x^{2} y^{n + 1}$ 与 $- \frac{7}{5} a x^{m} y^{4}$ 的差仍是单项式，则 $m - 2 n =$ ．

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11. 一种商品每件成本为a元，按成本增加25%定价，售出60件，可盈利元（用含a的式子表示）．

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12. 如果整式A与整式B的和为一个实数a ，我们称A ， B为数a的“友好整式”，例如： $x - 4$ 和 $- x + 5$ 为数1的“友好整式”．若关于x的整式 $4 x^{3} - k x^{2} + 6$ 与 $- 4 x^{3} - 3 x^{m} + k - 1$ 为数n的“友好整式”，则 $m n$ 的值为．

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13. 下列单项式中，相同未知数的次数依次有规律变化： $x y, x^{2} y^{3}, x^{3} y^{5}, x^{4} y^{7}, \dots$ ，你认为第20个单项式为．

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三、解答题（本大题共7小题，共61分）

14. 化简：

(1)、-5a+3(a-2b)-2(3b-2a).

(2)、   $6 x^{3} y - (4 x y^{2} + 5 x^{3} y) + 2 x y^{2} .$

(3)、        $2 (5 a^{2} b - 3 a b^{2}) - \frac{1}{2} (- 2 a b^{2} + 4 a^{2} b) .$

(4)、    $\frac{1}{2} m^{2} - [\frac{1}{2} (m n - m^{2}) + 4 m n] - \frac{1}{2} m n .$

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15. 老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了方框内的整式，形式如下：
$- 3 (x^{2} - x y)$ $= 5 x y + 10 y - 1$

(1)、设所捂的整式为A，求整式A；

(2)、在（1）的条件下，设 $B = x^{2} - x y$ ，若 $A - 3 B$ 的值与 $y$ 的取值无关，求 $x$ 的值．

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16. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，示例如图1．即 $4 + 3 = 7$ ．

(1)、 $m =$ ________， $y =$ ________；(用x来表示)

(2)、当 $x = - 2$ 时，计算y的值；

(3)、如图2，当x的值每增加1时，y的值就增加________．

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17. 观察下列等式，并探索规律：
1+3=2²=4
1+3+5=3²=9
1+3+5+7=4²=16
1+3+5+7+9=5²=25

(1)、请回答：1+3+5+7+9+11=；

(2)、请回答：1+3+5+7+⋯+（2?−1）=（?≥5且n为正整数）；

(3)、请用上述规律计算：21+23+25+⋯+57+59

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18. 图1是2024年12月的月历．

(1)、如图1，如果本周二对应的日期用x（ $3 \leq x \leq 24$ ，且x为整数）表示，那么本周三可以表示为__________，下周一对应的日期可以表示__________．（用含x的式子表示）

(2)、如图2，若用a表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用S表示这5天的日期之和，求S与a之间的关系式．

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19. 阅读材料，并回答下列问题．

对称式：一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如：代数式 $a b c$ 中任意两个字母交换位置，可得到代数式 $b a c ， a c b ， c b a$ ，因为 $a b c = b a c = a c b = c b a$ ，所以 $a b c$ 是对称式；而代数式 $a - b$ 中字母 $a ， b$ 交换位置，得到代数式 $b - a$ ，因为 $a - b \neq b - a$ ，所以 $a - b$ 不是对称式．

(1)、下列四个代数式中，是对称式的是______（填序号）；

① $a + b + c$ ；② $a^{2} b$ ；③ $a^{2} + b^{2}$ ；④ $\frac{a}{b}$ ．

(2)、写出一个只含有字母

m ， n

的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6；

(3)、已知

A = 3 a^{2} + 6 b^{2}

，

B = a^{2} - 2 a b

，求

A + 3 B

，并直接判断所得结果是否为对称式．

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20. 某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）：
居民月用水量
不超过 $10 m^{3}$ 的部分
超过 $10 m^{3}$ 但不超过 $18 m^{3}$ 的部分
超过 $18 m^{3}$ 的部分
单价
2元/ $m^{3}$
3元/ $m^{3}$
4元/ $m^{3}$

(1)、某用户一个月用了 $15 m^{3}$ 水，求该用户这个月应缴纳的水费；

(2)、设某户月用水量为n立方米，当 $n > 18$ 时，求该用户应缴纳的水费（用含n的代数式表示）；

(3)、甲、乙两用户一个月共用水 $36 m^{3}$ ，已知甲用户用水量超过 $20 m^{3}$ 但不超过 $25 m^{3}$ ，设甲用户这个月用水 $x m^{3}$ ，求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的代数式表示）

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居民月用水量	不超过 $10 m^{3}$ 的部分	超过 $10 m^{3}$ 但不超过 $18 m^{3}$ 的部分	超过 $18 m^{3}$ 的部分
单价	2元/ $m^{3}$	3元/ $m^{3}$	4元/ $m^{3}$