2.5 有理数的混合运算培优课时卷-北师大版数学七年级上册

试卷更新日期：2025-09-01 类型：同步测试

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一、选择题

1. 小明和小红利用温差测量山峰的高度。小明在山顶测得温度是- $1^{\circ} C$ ，小红此时在山脚测得温度是 $11^{\circ} C$ 。已知该地区高度每增加 100 米，气温大约下降 ${0.8}^{\circ} C$ ，则这个山峰的高度大约是（）

A、800 米 B、1250 米 C、1200 米 D、1500 米

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2. 如图，已知正方形的边长为24 cm，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点D，B同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行。若乙的速度为9cm/s，甲的速度为3cm/s，当它们运动了2024 s时，它们在正方形边上相遇了( )

A、252次 B、253次 C、254次 D、255次

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3. 定义一种新运算“ $\otimes$ ”，规定： $a \otimes b = 2 a - 3 b$ 等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如： $2 \otimes (- 3) = 2 \times 2 - 3 \times (- 3) = 4 + 9 = 13$ ， $1 \otimes 2 = 2 \times 1 - 3 \times 2 = 2 - 6 = - 4$ ．则 $(- 1) \otimes [3 \otimes (- 2)]$ 的值是（）．

A、 $- 2$ B、 $- 18$ C、 $- 28$ D、 $- 38$

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4. 对于正整数n，定义f（n）表示n的首位数字与末位数字的平方和.例如：f（6） $= 6^{2} = 36, f (123) = 1^{2} + 3^{2} = 10 .$ 规定 $f_{1} (n) = f (n), f ₖ_{+}_{1} (n) = f (f ₖ (n))$ （k为正整数）.
例如： $f_{1} (123) = f (123) = 1^{2} + 3^{2} = 10, f_{2} (123) = f (f_{1} (123))$ 0）=1.则 $f_{4} (4)$ 的值为（）

A、37 B、58 C、89 D、145

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5. 书店有定价10元/本的某阅读书售卖，书店有两种促销方案，方案一：每买5本，赠送一本；方案二：一次性购买超过5本，每本打八五折出售；某班级需在此书店购进32本此阅读书，至少要花（）元．

A、268 B、269 C、270 D、272

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6. 当温度每上升 $1 ℃$ 时，某种金属丝伸长 $0.002 mm$ ；反之，当温度下降 $1 ℃$ 时，金属丝就缩短 $0.002 mm$ ．把 $15 ℃$ 的这种金属丝加热到 $60 ℃$ ，再使它冷却降温到 $5 ℃$ ．金属丝最后的长度比原来的长度伸长（） $mm$ ．

A、 $0.02$ B、 $- 0.02$ C、 $0.09$ D、 $- 0.11$

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7. 法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了.下面两个图框是用法国“小九九”计算

7 \times 8

和

8 \times 9

的两个示例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数.若用法国的“小九九”计算

7 \times 9

，左、右手依次伸出手指的个数是（）

$7 \times 8 =$ ？

因为两手伸出的手指数的和为 $5$ ，未伸出的手指数的积为 $6$ ，所以 $7 \times 8 = 56.7 \times 8 = 10 \times (2 + 3) + 3 \times 2 = 56$

$8 \times 9 =$ ？

因为两手伸出的手指数的和为 $7$ ，未伸出的手指数的积为 $2$ ，所以 $8 \times 9 = 72.8 \times 9 = 10 \times (3 + 4) + 2 \times 1 = 72$

A、

2

，

4

B、

1

，

4

C、

3

，

4

D、

3

，

1

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8. 已知a>b>c>d>e，从a，b，c，d中随机取两个字母作差后取绝对值，记为A；将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对|A|--|B|-e进行化简运算，称为“绝差操作”，例如：|d-a|-|c-b|-e=(a-d)-(b-c)-e=a-b+c-d-e为一次“绝差操作”，a-b+c-d--e为“绝差操作”的一种运算结果。下列说法中，正确的个数是( )
①存在“绝差操作”的两种运算结果的和为-2e；
②存在“绝差操作”的两种运算结果的差为2a+2b；
③所有的“绝差操作”共有4种不同的运算结果。

A、3 B、2 C、1 D、0

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二、填空题

9. 按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入的数是20，而结果不大于100时，应把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为．

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10. 有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取4个1~13之间的自然数，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如1，2，3，4．可作如下运算：(1+2+3)×4=24．另有3组数(1)2，3，4，5；(2)1，2，8，9；(3)3，3，7，7，也可通过运算使其结果等于24．请从以上3组中选择2组数，列出算式，。

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11. 定义一种新运算：当x⊕y=m时，（x+1）⊕y=m+1，x⊕（y+1）=m-2。若1⊕1=2，则2024⊕2024=。

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12. 已知非零自然数a，b，c，d都不超过4，若其中有两个相同，并且（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）= 900，则 a+b+c+d 的值为.

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13. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如， ${(1011)}_{2}$ 就是二进制数1011的简单写法，十进制一般不标注基数．不同进位制的数之间是能相互转换的．将二进制数1011转换为十进制的方法是： ${(1011)}_{2} = 1 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$ ；将十进制数11转换为二进制可以用这样的方法：除二取余，倒叙排列．即：将一个十进制数11除以2，得到的商再除以2，依此类推直到商等于1或0时为止，倒取除二产生的余数，就为换算为二进制数的结果．具体如下：
我们能看到十进制数11除以2得到的余数依次为1，1，0，1，倒叙排列就是对应的二进制数1011，即 $11 = {(1011)}_{2}$ ．依照前面的方法，则十进制数 $68 = {()}_{2}$ ，则括号内应填写的数是．

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三、解答题

14. 计算： $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2026}) (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2025}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2026})$ $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2025}) .$

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15. 计算： $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots + \frac{1}{2024 \times 2026} .$

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16. 如图，已知数轴上有 $A$ ， $B$ 两点，分别代表 $- 40$ ， 20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从 $A$ ， $B$ 两点同时出发，甲沿线段 $A B$ 以1个单位长度秒的速度向右运动，到达点 $B$ 处时运动停止；乙沿 $B A$ 方向以4个单位长度秒的速度向左运动．

(1)、 $A$ ， $B$ 两点间的距离为个单位长度；乙到达 $A$ 点时共运动了秒．

(2)、甲，乙在数轴上的哪个点相遇？

(3)、多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？

(4)、若乙到达 $A$ 点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达 $B$ 点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．

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17. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如：学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数--“好数”。
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”。
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除。643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除。

(1)、判断312，675 是否为“好数”，并说明理由。

(2)、求百位数字比十位数字大5 的所有“好数”的个数。

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18. 小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具210个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减产值
$+ 10$
$- 12$
$- 4$
$+ 8$
$- 1$
$+ 6$
0

(1)、根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具个；

(2)、根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具个；

(3)、该厂实行“每日计件工资制”．每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？

(4)、若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．

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19. 在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“ $\oplus$ ”表示相加．例如：向右转 $\oplus$ 向左转 $=$ 立正，向左转 $\oplus$ 向左转 $=$ 向后转，等等．分别用数字符号0，1， $- 1$ ， 2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表．
$\oplus$
0（立正）
1（向右转）
$- 1$ （向左转）
2（向后转）
0（立正）
0
1
$- 1$
2
1（向右转）
1
2
0
n
$- 1$ （向左转）
$- 1$
0
2
1
2（向后转）
2
x
y
m
请完成下面问题：

(1)、上述表格中， $x =$ ， $y =$ ， $m =$ ．

(2)、若用字母a表示任何一种体育口令，则 $a \oplus 0 =$ ．

(3)、判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）．

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20. （1）
（2）

(1)、如果欲求 $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n$ 的值，可令 $S = 1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n$ ①，将①式右边顺序倒置，得 $S = n + \dots + 4 + 3 + 2 + 1$ ②，由②式+①式，得 $2 S =$ ； $∴ S =$ ；由结论求 $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 100 =$ ；

(2)、①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果 $a_{n}$ （n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 $a_{18} =$ ， $a_{n} =$ ；
②为了求 $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{2018}$ 的值，可令 $M = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{2018}$ ①，则 $3 M = 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{2019}$ ②，由②式﹣①式，得 $3 M - M = 3^{2019} - 1$ ， $∴ M = \frac{3^{2019} - 1}{2}$ ，即 $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{2018} = \frac{3^{2019} - 1}{2}$ ．
仿照以上推理，计算 $1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + \dots + 5^{51}$ ．

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星期	一	二	三	四	五	六	日
增减产值	$+ 10$	$- 12$	$- 4$	$+ 8$	$- 1$	$+ 6$	0

$\oplus$	0（立正）	1（向右转）	$- 1$ （向左转）	2（向后转）
0（立正）	0	1	$- 1$	2
1（向右转）	1	2	0	n
$- 1$ （向左转）	$- 1$	0	2	1
2（向后转）	2	x	y	m