2.3 有理数的乘除运算培优课时卷-北师大版数学七年级上册

试卷更新日期：2025-09-01 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在简便运算时，把 $- 24 \times (- 99 \frac{11}{12})$ 变形成最合适的形式是（）

A、 $- 24 \times (- 99 + \frac{1}{12})$ B、 $- 24 \times (- 100 + \frac{1}{12})$ C、 $- 24 \times (- 99 - \frac{11}{12})$ D、 $- 24 \times (- 100 - \frac{11}{12})$

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2. 若"!"是一种数学运算符号，并且 $1! = 1, 2! = 2 \times 1 = 2 ， 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6, 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24, \dots$ ，则 $\frac{100!}{98!}$ 的值为（）

A、 $\frac{50}{49}$ B、9900 C、99! D、2!

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3. 老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下，自己负责的那一步错误的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4. 已知 $| x | = 3$ ， $| y | = 2$ ，且 $x y < 0$ ，则 $x - y$ 的值等于（）

A、 $- 1$ 或1 B、5或 $- 5$ C、5或 $- 1$ D、 $- 5$ 或1

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5. 如果四个互不相同的正整数 $m 、 n 、 p 、 q$ 满足 $(4 - m) (4 - n) (4 - p) (4 - q) = 9$ ，则 $4 m + 3 n + 3 p + q$ 的最大值为（　　）

A、40 B、53 C、60 D、70

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6. 2024减去它的 $\frac{1}{2}$ ，再减去余下的 $\frac{1}{3}$ ，再减去余下的 $\frac{1}{4}$ ……以此类推，一直减到余下的 $\frac{1}{2024},$ ，则最后剩下的数是( )

A、0 B、1 $C . \frac{2024}{2023}$ $D . \frac{2023}{2024}$

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7. 六个整数的积a·b·c·d·e·f=-36，a，b，c，d，e，f互不相等，则a+b+c+d+e+f的和可能是（）

A、0 B、10 C、6 D、8

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8. 下列说法：① $| - a |$ 一定是正数；② $m + | m |$ 的结果必为非负数；③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；④n个数相乘，积的符号由负因数的个数决定；⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数，其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 小白熊的饭店门前有一串彩灯，每串彩灯都是按4个红灯、2个黄灯、3个蓝灯的规律排列，第39盏彩灯是颜色，这39盏灯串红灯有盏．

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10. 若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是（写出一对即可）．

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11. 若四个互不相同的正整数a，b，c，d满足(5-a)×(5-b)×(5-c)×(5-d)=4，则a+b+c+d的值为。

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12. 观察下列等式： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} ， \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ， \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ，将以上三个等式两边分别相加得： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ．应用计算：
$\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{10 \times 13} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{298 \times 301} =$ ．

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13. 数学活动课上，王老师在6张卡片上分别写了6个数： $- 3$ ， $+ 4$ ， $+ 1$ ， 0， $+ 5$ ， $- 8$ ，然后从中抽取3张．使这3张卡片各数之积最大，则最大的积是．

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三、解答题

14. 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（-15）；
（2）999× $118 \frac{4}{5}$ +999×（ $- \frac{1}{5}$ ）-999× $18 \frac{3}{5}$ .

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15. 已知 $\frac{| a |}{a}$ + $\frac{| b |}{b}$ + $\frac{| c |}{c}$ =-1，试求 $\frac{a b}{| a b |}$ + $\frac{b c}{| b c |}$ + $\frac{c a}{| c a |}$ + $\frac{a b c}{| a b c |}$ 的值.

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16. 如图，若点A表示0.2， $A \div \frac{2}{3}$ 的结果请用点B表示在图中；若点A表示1， $A \times \frac{2}{3}$ 的结果请用点C表示在图中；若点A表示0.1，那么点D表示的数，请写在图中．

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17. 阅读下面的材料：
$(1 + \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3}) = \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = 1;$
$(1 + \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{4}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{5}) =$ $\frac{3}{2} \times \frac{5}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = (\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}) \times (\frac{5}{4} \times \frac{4}{5}) =$ 1×1=1。
根据以上信息计算：
$(1 + \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{4}) \times (1 + \frac{1}{6}) \times \dots \times (1 +$ $\frac{1}{20}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{5}) \times (1 - \frac{1}{7}) \times \dots \times$ $(1 - \frac{1}{21}),$

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18. 任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“ $F (n) = |x - y|$ ”，例∶ $12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$ ，则 $F (12) = |3 - 4| = 1$ ．

(1)、填空： $F (6) =$ ______， $F (15) =$ _____， $F (100) =$ _____．

(2)、若 $F (m) + F (n) = 0, (8 < m < n < 18)$ ，求m和n的值．

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19. 探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫 $Δ$ （加乘）运算；”
然后他写出了一些按照 $Δ$ （加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
$(+ 5) Δ (+ 2) = + 7$ ； $(- 1) Δ (- 3) = + 4$ ； $(- 4) Δ (- 5) = + 9$ ；
$(- 2) Δ (+ 3) = - 5$ ； $(- 3) Δ (+ 4) = - 7$ ； $(+ 5) Δ (- 6) = - 11$ ；
$0 Δ (+ 8) = 8$ ； $0 Δ (- 8) = 8$ ； $(- 6) Δ 0 = 6$ ； $(+ 6) Δ 0 = 6$ ．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的 $Δ$ （加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？

(1)、观察以上式子，类比计算：
① $(- 4) Δ (- 6) =$ ；② $(- \frac{2}{3}) Δ (+ 1) =$ ；

(2)、 $(- 2) Δ [0 Δ (- 1)] =$ ；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）

(3)、若 $(2 - a) Δ (b - 4) = 0$ ，计算： $\frac{1}{a \times b} + \frac{1}{(a + 2) (b + 2)} + \frac{1}{(a + 4) (b + 4)} + \dots + \frac{1}{(a + 96) (b + 96)}$ 的值．

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20. 阅读下列素材：

如何设计“非对称加密算法”
素材1	“非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密.
素材 2	3×1 001=3003；13×1 001=13 013；213×1 001=213 213……
素材3	项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000 以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记(公钥，私钥)为(a，b)(其中a，b均为两位正整数)，则例：当明文为123(a，b)取(13，77)时，加密解密的过程如下：