备考2018年高考数学一轮基础复习：专题11 平面解析几何

试卷更新日期：2017-12-12 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知点（x₀ ， y₀）在x²+y²=r²（r＞0）外，则直线x₀x+y₀y=r²与圆x²+y²=r²的位置关系为（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、相交、相切、相离三种情况均有可能

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2. 过点（3，1）作圆（x﹣1）²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　）

A、2x+y﹣3=0 B、2x﹣y﹣3=0 C、4x﹣y﹣3=0 D、4x+y﹣3=0

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3. 斜率为2的直线l与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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4. 已知F为抛物线C：y²=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l₁ ， l₂ ，直线l₁与C交于A、B两点，直线l₂与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）

A、16 B、14 C、12 D、10

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5. 已知点P是抛物线x²=4y上的动点，点P在x轴上的射影是Q，点A（8，7），则|PA|+|PQ|的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F₁ ， F₂ ，在线段AB上有且只有一个点P满足PF₁⊥PF₂ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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7. 曲线 $y = \ln x - \frac{2}{x}$ 在x=1处的切线的倾斜角为α，则cosα+sinα的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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8. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P是侧面BB₁C₁C内一动点，若P到直线BC与直线C₁D₁的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）

A、直线 B、圆 C、双曲线 D、抛物线

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9. 已知 $F$ 是双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，过点 $F$ 作 $E$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，线段 $P F$ 与 $E$ 相交于点 $Q$ ，记点 $Q$ 到 $E$ 的两条渐近线的距离之积为 $d^{2}$ ，若 $| F P | = 2 d$ ，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 3 D、4

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10. 已知A，B分别为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当 $\frac{a}{b} - \frac{1}{3 m n}$ 取最大值时，椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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11. 若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x²+ $\frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\sqrt{5}$

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12. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；
③设A，B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若 $\vec{O P} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ 则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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13. 已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 $\vec{F P}$ =4 $\vec{F Q}$ ，则|QF|=（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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二、填空题

14. 已知点F是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是．

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15. 已知a、b、c三个实数成等差数列，则直线bx+ay+c=0与抛物线 $y^{2} = - \frac{1}{2} x$ 的相交弦中点的轨迹方程是．

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16. 若方程 $\frac{x^{2}}{a - 5}$ + $\frac{y^{2}}{2}$ =1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是

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17. 已知抛物线y=x²的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到x轴的距离等于．

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三、综合题

18. P（x₀ ， y₀）（x₀≠±a）是双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为 $\frac{1}{5}$ ．

(1)、求双曲线的离心率；

(2)、过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足 $\vec{O C} = λ \vec{O A} + \vec{O B}$ ，求λ的值．

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19.
如图，曲线C由上半椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0 ， y \geq 0)$ 和部分抛物线 $C_{2} ： y = - x^{2} + 1 (y \leq 0)$ 连接而成，C₁与C₂的公共点为A，B，其中C₁的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求a，b的值；

(2)、过点B的直线l与C₁ ， C₂分别交于点P，Q（均异于点A，B），是否存在直线l，使得PQ为直径的圆恰好过点A，若存在直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，F₁ ， F₂分别是它的左、右焦点，且存在直线l，使F₁ ， F₂关于l的对称点恰好为圆C：x²+y²﹣4mx﹣2my+5m²﹣4=0（m∈R，m≠0）的一条直径的两个端点．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设直线l与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，射线F₁A，F₁B与椭圆E分别相交于点M，N，试探究：是否存在数集D，当且仅当p∈D时，总存在m，使点F₁在以线段MN为直径的圆内？若存在，求出数集D；若不存在，请说明理由．

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21. 在直角坐标系xOy中，设圆的方程为（x+2 $\sqrt{2}$ ）²+y²=48，F₁是圆心，F₂（2 $\sqrt{2}$ ，0）是圆内一点，E为圆周上任一点，线EF₂的垂直平分线EF₁的连线交于P点，设动点P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l（与x轴不重合）与曲线C交于A、B两点，与x轴交于点M．
（i）是否存在定点M，使得 $\frac{1}{| M A |^{2}}$ + $\frac{1}{| M B |^{2}}$ 为定值，若存在，求出点M坐标及定值；若不存在，请说明理由；
（ii）在满足（i）的条件下，连接并延长AO交曲线C于点Q，试求△ABQ面积的最大值．

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22. 已知圆C：（x﹣3）²+（y﹣4）²=4，直线l过定点A（1，0）．

(1)、若l与圆C相切，求l的方程；

(2)、若l与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|=2 $\sqrt{2}$ ，求此时直线l的方程．

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