2015-2016学年广东省江门一中高一下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2016-10-09 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设向量 $\vec{a}$ =（cos25°，sin25°）， $\vec{b}$ =（cos25°，sin155°），则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 若| $\vec{A B}$ |=| $\vec{A D}$ |且 $\vec{B A}$ = $\vec{C D}$ ，则四边形ABCD的形状为（）

A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、等腰梯形

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3. 已知60°角的终边上有一点P（4，a），则a的值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、± $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、4 $\sqrt{3}$ D、±4 $\sqrt{3}$

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4. 已知tanα= $\frac{1}{2}$ ，则sinαcosα的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、﹣ $\frac{2}{5}$

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5. 函数y=cos（x+ $\frac{π}{2}$ ）的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象如图所示，则f（0）=（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 下列说法正确的是（）

A、在（0， $\frac{π}{2}$ ）内，sinx＞cosx B、函数y=2sin（x+ $\frac{π}{5}$ ）的图象的一条对称轴是x= $\frac{4}{5}$ π C、函数y= $\frac{π}{1 + \tan^{2} x}$ 的最大值为π D、函数y=sin2x的图象可以由函数y=sin（2x﹣ $\frac{π}{4}$ ）的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位得到

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8. 设D为△ABC所在平面内一点， $\vec{B C} = 3 \vec{C D}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{4}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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9. 若O为△ABC的内心，且满足（ $\vec{O B}$ ﹣ $\vec{O C}$ ）•（ $\vec{O B}$ + $\vec{O C}$ ﹣2 $\vec{O A}$ ）=0，则△ABC的形状为（）

A、等腰三角形 B、正三角形 C、直角三角形 D、以上都不对

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10. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足 $\vec{A P} = 2 \vec{P M}$ ，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 等于（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{9}$

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11. 已知不等式 $f (x) = 3 \sqrt{2} \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} + \sqrt{6} \cos \frac{2 x}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2} - m \leq 0$ 对于任意的 $- \frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{π}{6}$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $m \geq \sqrt{3}$ B、 $m \leq \sqrt{3}$ C、 $m \leq - \sqrt{3}$ D、. $- \sqrt{3} \leq m \leq \sqrt{3}$

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12. 已知锐角α，β满足：cosα= $\frac{1}{3}$ ，cos（α+β）=﹣ $\frac{1}{3}$ ，则cos（α﹣β）=（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、﹣ $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{23}{27}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ =（2，3）， $\vec{b}$ =（﹣4，1），则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影为．

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14. 关于函数f（x）=4sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）（x∈R），有下列命题：
①y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x﹣ $\frac{π}{6}$ ）；
②y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
③y=f（x）的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=﹣ $\frac{π}{6}$ 对称．
其中正确的命题的序号是．

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15. 已知sinx=m﹣1且x∈R，则m的取值范围是．

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16. 如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A C}$ = ．

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三、解答题

17. 已知f（α）= $\frac{\sin (π + α) \cos (2 π - α) \tan (- α)}{\tan (- π - α) \sin (- π - α)}$ ．

(1)、化简f（α）；

(2)、若α是第三象限的角，且sin（α﹣π）= $\frac{1}{5}$ ，求f（α）的值；

(3)、若α=﹣ $\frac{31 π}{5}$ ，求f（α）的值．

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18. 已知平面内三点A、B、C三点在一条直线上， $\vec{O A}$ =（﹣2，m）， $\vec{O B}$ =（n，1）， $\vec{O C}$ =（5，﹣1），且 $\vec{O A}$ ⊥ $\vec{O B}$ ，求实数m，n的值．

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19. 已知函数f（x）=asin（2ωx+ $\frac{π}{6}$ ）+ $\frac{a}{2}$ +b（x∈R，a＞0，ω＞0）的最小正周期为π，函数f（x）的最大值是 $\frac{7}{4}$ ，最小值是 $\frac{3}{4}$ ．

(1)、求ω、a、b的值；

(2)、求f（x）的单调递增区间．

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20. 平面内有向量 $\vec{O A}$ =（1，7）， $\vec{O B}$ =（5，1）， $\vec{O P}$ =（2，1），点X为直线OP上的一个动点．

(1)、当 $\vec{X A}$ • $\vec{X B}$ 取最小值时，求 $\vec{O X}$ 的坐标；

(2)、当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．

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21. 已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα）， $α \in [\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ ．

(1)、若 $| \vec{A C} | = | \vec{B C} |$ ，求角α的值；

(2)、若 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = - 1$ ，求 $\frac{2 \sin^{2} α + \sin 2 α}{1 + \tan α}$ 的值．

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22. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足 $\vec{O C}$ = $\frac{1}{3} \vec{O A}$ + $\frac{2}{3} \vec{O B}$ ．

(1)、求证：A、B、C三点共线；

(2)、已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]，f（x）= $\vec{O A}$ • $\vec{O C}$ +（2m+ $\frac{1}{3}$ ）| $\vec{A B}$ |+m²的最小值为5，求实数m的值．

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