河南省信阳市2017-2018学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2017-12-11 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设集合A={x|1≤x≤5}，B={x|log₂x＜2}，则A∪B等于（）

A、（﹣1，5] B、[1，4） C、（0，5] D、[﹣1，4）

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2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2 $\sqrt{3}$ ，b=2 $\sqrt{2}$ ，A=60°，则B等于（）

A、45° B、60° C、75° D、135°

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3. $\frac{s i n^{2} 11 ° - c o s^{2} 11 °}{s i n 34 ° c o s 34 °}$ 等于（）

A、﹣2 B、﹣1 C、1 D、2

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4. 设a=2 $^{\frac{1}{5}}$ ，b=（ $\frac{6}{7}$ ） $^{\frac{1}{6}}$ ，c=ln $\frac{π}{2}$ （其中π是圆周率），则（）

A、c＜a＜b B、b＜c＜a C、a＜c＜b D、c＜b＜a

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5. 已知α，β均为锐角，且sinα= $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ，cos（α+β）=﹣ $\frac{11}{14}$ ，则β等于（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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6. 若函数f（x）=﹣ $\frac{4}{3} x^{3}$ +mx有三个不同的单调区间，则实数m的取值范围是（）

A、[0，+∞） B、（﹣∞，0） C、（0，+∞） D、（﹣∞，0]

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7. 已知（xlnx）'=lnx+1， $\int_{1}^{a} (l n x - 1) d x = 2$ ，则实数a等于（）

A、2 B、e C、3 D、e²

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8. 函数f（x）= $\frac{1}{x}$ +ln|x|的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知3^x+x³=100，[x]表示不超过x的最大整数，则[x]=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且OM⊥ON，则A=（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{7} π}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{7} π}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{7} π}{3}$

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11. 设t＞0，函数f（x）= ${\begin{matrix} 2^{x} ， x < t \\ l o g_{\frac{1}{2}} x ， x \geq t \end{matrix}$ 的值域为M，若2∉M，则t的取值范围是（）

A、（ $\frac{1}{4}$ ，1） B、（ $\frac{1}{4}$ ，1] C、[ $\frac{1}{4}$ ，1） D、[ $\frac{1}{4}$ ，1]

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12. 已知函数f（x）=e^x ， g（x）=ln $\frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ 的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）

A、2 B、2+ln2 C、e² $+ \frac{1}{2}$ D、2e﹣ln $\frac{3}{2}$

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二、填空题

13. 若 $a^{\frac{3}{4}}$ = $\frac{8}{27}$ （a＞0），则 $l o g_{\frac{2}{3}} a$ = ．

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14. 已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）= ．

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15. 若△ABC的面积为S=a²﹣（b﹣c）² ，则 $\frac{s i n A}{1 - c o s A}$ = ．

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16. 设函数y=f（x）图象上不同的两点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂）处的切线斜率分别是k_M ， k_N ，那么规定Φ（M，N）= $\frac{| k_{M} - k_{N} |}{| M N |}$ 叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”．设曲线f（x）=x³+2上不同两点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂），且x₁x₂=1，则该曲线在点M与点N之间的“弯曲度”的取值范围是．

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三、解答题

17. 求函数f（x）= $l o g_{a} (2 x - x^{2})$ （a＞0且a≠1）的值域．

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18. 在△ABC中，AC=6， $c o s B = \frac{4}{5}$ ， $C = \frac{π}{4}$ ．

(1)、求AB的长；

(2)、求 $c o s (A - \frac{π}{6})$ 的值．

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19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+ $\sqrt{3}$ cosA=2．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c= $\sqrt{3}$ b．试从中选出两个可以确△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积．（只写出一个方案即可）

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20. 已知函数f（x）=log₂（1+x）+alog₂（1﹣x）（a∈R）的图象关于y轴对称．

(1)、求函数f（x）的定义域；

(2)、求a的值；

(3)、若函数g（x）=x﹣2^f^（x）﹣2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{1}{3} x^{3}$ ﹣ $\frac{1}{2} x^{2}$ +cx+d有极值．
（Ⅰ）求实数c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜ $\frac{1}{6} d^{2}$ +2d恒成立，求实数d的取值范围．

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22. 已知实数λ＞0，设函数f（x）=e^λx﹣ $\frac{l n x}{λ}$ ．
（Ⅰ）当λ=1时，求函数g（x）=f（x）+lnx﹣x的极值；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求λ的最小值．

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