甘肃省定西市通渭二中2017-2018学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2017-12-11 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设U=R，A={x|y=x $\sqrt{x}$ }，B={y|y=﹣x²}，则A∩（∁_UB）=（）

A、∅ B、R C、{x|x＞0} D、{0}

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2. 已知p：x≥k，q： $\frac{3}{x + 1}$ ＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）

A、[2，+∞） B、（2，+∞） C、[1，+∞） D、（﹣∞，﹣1]

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3. 命题“∃x₀∈（0，+∞），lnx₀=x₀﹣1”的否定是（　　）

A、∃x₀∈（0，+∞），lnx₀≠x₀﹣1 B、∃x₀∉（0，+∞），lnx₀=x₀﹣1 C、∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D、∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1

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4. f（x）= ${\begin{matrix} (3 a - 1) x + 4 a ， (x < 1) \\ - a x ， (x \geq 1) \end{matrix}$ 是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）

A、[ $\frac{1}{8}$ ， $\frac{1}{3}$ ） B、[0， $\frac{1}{3}$ ] C、（0， $\frac{1}{3}$ ） D、（﹣∞， $\frac{1}{3}$ ]

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5. 已知函数f（x）=sin（x+θ）+ $\sqrt{3}$ cos（x+θ）（θ∈[﹣ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2}$ ））是偶函数，则θ的值为（）

A、0 B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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6. $\vec{a} = (m ， 1) ， \vec{b} = (1 - n ， 1)$ （其中m、n为正数），若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、3 $\sqrt{2}$ C、3 $\sqrt{2}$ +2 D、2 $\sqrt{2}$ +3

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7. 正项等比数列{a_n}中的a₁ ， a₄₀₃₁是函数f（x）= $\frac{1}{3}$ x³﹣4x²+6x﹣3的极值点，则 $l o g_{\sqrt{6}} a_{2016}$ =（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、﹣1

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8. 平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°， $\vec{a}$ =（2，0），| $\vec{b}$ |=1，则| $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ |=（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、4 D、12

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9. 由曲线y= $\sqrt{x}$ ，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、4 C、 $\frac{16}{3}$ D、6

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10. 若函数f（x）=ax²+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（　　）

A、5 B、4 C、3 D、2

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x ， x \leq 0 \\ x^{2} - x ， x > 0 \end{matrix}$ ，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ B、 $[- \frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- \frac{1}{4} ， 0)$ D、 $(- \frac{1}{4} ， 0]$

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12. 给出下列四个命题：①f（x）=sin（2x﹣ $\frac{π}{4}$ ）的对称轴为x= $\frac{k π}{2} + \frac{3 π}{8}$ ，k∈Z；②若函数y=2cos（ax﹣ $\frac{π}{3}$ ）（a＞0）的最小正周期是π，则a=2；③函数f（x）=sinxcosx﹣1的最小值为﹣ $\frac{3}{2}$ ；④函数y=sin（x+ $\frac{π}{4}$ ）在[﹣ $\frac{π}{2} ， \frac{π}{2}$ ]上是增函数，其中正确命题的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 若 $\vec{a}$ =（2+λ，1）， $\vec{b}$ =（3，λ），若＜ $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ＞为钝角，则实数λ的取值范围是．

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14. 已知函数f（x）=x³+m．若关于x的不等式f（x）≥x³+3x²﹣3x在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围是．

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15. 函数f（x）=e^x﹣x（e为自然数的底数）在区间[﹣1，1]上的最大值是．

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16. 已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（2）=0；
②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x₁ ， x₂ ，则x₁+x₂=﹣8．
上述命题中所有正确命题的序号为．

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三、解答题

17. 已知| $\vec{a}$ |=4，| $\vec{b}$ |=3，（2 $\vec{a}$ ﹣3 $\vec{b}$ ）•（2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）=61．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角θ；

(2)、求| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |和| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |．

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18. 已知向量 $\vec{a}$ =（cos $\frac{3}{2}$ x，sin $\frac{3}{2}$ x）， $\vec{b}$ =（cos $\frac{x}{2}$ ，﹣sin $\frac{x}{2}$ ），若f（x）= $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ﹣| $\vec{a} + \vec{b}$ |²

(1)、求函数f（x）的单调减区间；

(2)、若x∈[﹣ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{4}$ ]，求函数f（x）的最大值和最小值．

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19. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称．

(1)、求证：f（x）是周期为4的周期函数；

(2)、若f（x）= $\sqrt{x}$ （0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．

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20. 已知a₂ ， a₅是方程x²﹣12x+27=0的两根，数列{a_n}是公差为正的等差数列，数列{b_n}的前n项和为T_n ，且T_n=1 $- \frac{1}{2}$ b_n ．（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_nb_n ，求数列{c_n}的前n项和S_n ．

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21. 已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+ $\frac{1}{x}$ +2的图象关于点A（0，1）对称．

(1)、求f（x）的解析式；

(2)、若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在区间[0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）

(1)、当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程．

(2)、求函数f（x）的极值．

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