备考2018年高考数学一轮基础复习：专题10 三角函数、解三角形

试卷更新日期：2017-12-11 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 若α为锐角，且 $s i n (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则cos2α=（　　）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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2. 已知函数f（x）=2cos（ωx+ $\frac{3}{2}$ π）（ω＞0）的最小正周期为2π，则函数f（x）图象的一条对称轴方程为（）

A、x= $\frac{π}{4}$ B、x= $\frac{π}{2}$ C、x= $\frac{3}{4}$ π D、x=π

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3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a²+c²﹣b²）tanB= $\sqrt{3}$ ac则角B的值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ $\frac{1}{2}$ ，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（　　）

A、bc（b+c）＞8 B、ab（a+b）＞16 $\sqrt{2}$ C、6≤abc≤12 D、12≤abc≤24

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5. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x= $\frac{2 π}{3}$ 时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）

A、f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B、f（0）＜f（2）＜f（﹣2） C、f（﹣2）＜f（0）＜f（2） D、f（2）＜f（0）＜f（﹣2）

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6. 若函数f（x）= $\sqrt{2}$ sin（2x+φ）（|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象关于直线x= $\frac{π}{12}$ 对称，且当x₁ ， x₂∈（﹣ $\frac{17 π}{12}$ ，﹣ $\frac{2 π}{3}$ ），x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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7. 要得到函数 $y = c o s (4 x - \frac{π}{3})$ 图象，只需将函数 $y = s i n (\frac{π}{2} + 4 x)$ 图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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8. 已知 $\sin (α - \frac{π}{12}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α + \frac{17 π}{12})$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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9. 已知函数f（x）=sin（ωx+ $\frac{π}{3}$ ）﹣ $\frac{1}{2}$ cos（ωx﹣ $\frac{7 π}{6}$ ）（ω＞0），满足f（﹣ $\frac{π}{6}$ ）= $\frac{3}{4}$ ，则满足题意的ω的最小值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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10. 函数f（x）=sin（ $\frac{π}{4}$ +x）sin（ $\frac{π}{4}$ ﹣x）是（）

A、周期为2π的奇函数 B、周期为2π的偶函数 C、周期为π的奇函数 D、周期为π的偶函数

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11. 将函数y=cos（2x+ $\frac{π}{4}$ ）的图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（）

A、 $\frac{π}{16}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{8}$

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12. 函数y=2sin（ $\frac{π}{3}$ ﹣2x）的单调递增区间是（）

A、 $[k π - \frac{π}{12} ， k π + \frac{5 π}{12}] (k \in z)$ B、 $[k π + \frac{5 π}{12} ， k π + \frac{11 π}{12}] (k \in z)$ C、 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}] (k \in z)$ D、 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}] (k \in z)$

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二、填空题

13. 已知sinα= $\frac{3}{5}$ ，α∈（﹣ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2}$ ），则cos（α $+ \frac{5}{4}$ π）= ．

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14. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则f（0）的值为．

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15. 在下列结论中：
①函数y=sin（kπ﹣x）（k∈Z）为奇函数；
②函数 $y = t a n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称；
③函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象的一条对称轴为 $x = - \frac{2}{3}$ π；
④若tan（π﹣x）=2，则cos²x= $\frac{1}{5}$ ．
其中正确结论的序号为（把所有正确结论的序号都填上）．

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16. 函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（ $\frac{π}{6}$ ）|对（0，+∞）恒成立，且 $f (\frac{π}{2}) > f (π)$ ，则f（x）的单调递增区间是．

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三、综合题

17. 已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+ $\frac{π}{6}$ ）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求a和ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．

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18. 已知函数 $f (x) = s i n \frac{x}{3} c o s \frac{x}{3} + \sqrt{3} c o s^{2} \frac{x}{3}$ ．

(1)、求f（x）的最小正周期和单调递增区间；

(2)、如果△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．

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19. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sinxcosx﹣cos²x﹣ $\frac{1}{2}$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，c=4，且g（B）=0，求b的值．

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20. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{c o s A - 2 c o s C}{c o s B}$ = $\frac{2 c - a}{b}$ ．

(1)、求 $\frac{s i n C}{s i n A}$ 的值

(2)、若cosB= $\frac{1}{4}$ ，b=2，求△ABC的面积S．

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21. 如图，已知直线l：x+ $\sqrt{3}$ y﹣c=0（c＞0）为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以使上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜．

(1)、如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；

(2)、若O与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不想交）．则O，A之间的最远距离是多少海里？

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22. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c= $\sqrt{7}$ ，△ABC的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求△ABC的周长．

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