山东省济南市2025届高三下学期3月模拟考试数学试题

试卷更新日期：2025-03-30 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x |\log_{2} x < 1\}$ ， $B = \{x |x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(0, 2)$

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2. 设复数 $z$ 满足 $\frac{1 + z}{2 - i} = i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、 $- 2 + 2 i$ D、 $- 2 - 2 i$

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3. 若直线 $l_{1}$ ： $(m - 2) x + 3 y + 3 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $2 x + (m - 1) y + 2 = 0$ 平行，则 $m =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、1或 $- 4$ D、 $- 1$ 或4

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4. 若数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数，则“ $\{a_{n}\}$ 为等比数列”是“ $\{\ln a_{n}\}$ 为等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 抛物线 $y = x^{2} + 2 x + 2$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- 1, \frac{3}{2})$ B、 $(- 1, \frac{5}{4})$ C、 $(1, \frac{3}{2})$ D、 $(1, \frac{5}{4})$

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6. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{- x} - 1, x \leq 0, \\ 1 - e^{x}, x > 0, \end{array}$ 则 $f (2 x) + f (x - 3) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3)$ D、 $(- 3, + \infty)$

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7. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（）

A、π B、2π C、4π D、8π

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8. 已知 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ，则（）

A、 $\sin α - \sin β < α - β$ B、 $α - β < \tan α - \tan β$ C、 $α \sin β < β \cos α$ D、 $\tan β > α β$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到 $χ^{2} \approx 2.727$ ，根据小概率值为 $α$ 的独立性检验，则（）
附：
$P (χ^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.010
$k$
2.706
3.841
6.635

A、若 $α = 0.100$ ，则认为“毛色”和“角”无关 B、若 $α = 0.100$ ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C、若 $α = 0.010$ ，则认为“毛色”和“角”无关 D、若 $α = 0.010$ ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点， $O$ 为坐标原点， $P$ 为 $C$ 上异于左、右顶点的一点， $H$ 是线段 $P F_{2}$ 的中点，则（）

A、 $|O H| + |H F_{2}| = 2$ B、 $|O H| > 1$ C、 $△ O H F_{2}$ 内切圆半径的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $△ H F_{1} F_{2}$ 外接圆半径的最小值为1

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11. 已知递增数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正整数，且满足 $a_{a_{n}} = 3 n$ ，则（）

A、 $a_{a_{1}} = 3$ B、 $a_{n} > n$ C、 $a_{5} = 6$ D、 $a_{2025} = 81 a_{25}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为.（用数字作答）

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13. 函数 $f (x) = |\sin x| + \cos x$ 的最小值为.

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14. 已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $2 \sqrt{2}$ ，动点P满足 $P A^{2} + P B^{2} = P C^{2} + P D^{2}$ ，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 $\frac{7}{8}$ ，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 $\frac{1}{2}$ .已知输入的问题表达不清晰的概率为 $\frac{1}{5}$ .

(1)、求智能客服的回答被采纳的概率；

(2)、在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设 $X$ 表示智能客服的回答被采纳的次数.求 $X$ 的分布列、期望及方差.

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16. 如图，正方形 $A D E F$ 所在平面和等腰梯形 $A B C D$ 所在平面互相垂直，已知 $B C = 4$ ， $A B = A D = 2$ ，点 $P$ 在线段 $B E$ 上.

(1)、求证：平面 $A C P ⊥$ 平面 $A B F$ ；

(2)、当直线 $A P$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$ 时，求 $\frac{B P}{P E}$ .

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17. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ， $O$ 为坐标原点，过 $C$ 的右焦点的直线 $l$ 交 $C$ 的右支于P，Q两点，当 $l ⊥ x$ 轴时， $|P Q| = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过P作直线 $x = 1$ 的垂线，垂足为N.
（i）证明：直线 $Q N$ 过定点；
（ii）求 $△ O Q N$ 面积的最小值.

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18. 已知 $a, b \in R$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a \sqrt{x} - b x$ ， $x \in [0, + \infty)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x)$ 存在零点.
（i）当 $b = 0$ 时，求 $a$ 的取值范围；
（ii）求证： $a^{2} + b^{2} > 2$ .

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19. 如图，已知给定线段 $B_{1} C_{1}$ 长为2，以 $B_{1} C_{1}$ 为底边作顶角为 $θ (0^{°} < θ \leq 90^{°})$ 的等腰三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，取 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的腰 $A_{1} B_{1}$ 的三等分点 $B_{2}$ ， $C_{2}$ （ $B_{2}$ 靠近 $A_{1}$ ），以 $B_{2} C_{2}$ 为底边向 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 外部作顶角为 $θ$ 的等腰三角形 $A_{2} B_{2} C_{2}$ ……依次类推，取 $△ A_{n - 1} B_{n - 1} C_{n - 1}$ 的腰 $A_{n - 1} B_{n - 1}$ 的三等分点 $B_{n}$ ， $C_{n}$ （ $B_{n}$ 靠近 $A_{n - 1}$ ），以 $B_{n} C_{n}$ 为底边向 $△ A_{n - 1} B_{n - 1} C_{n - 1}$ 外部作顶角为 $θ$ 的等腰三角形 $A_{n} B_{n} C_{n} (n \geq 2)$ ，得到三角形列 $\{△ A_{n} B_{n} C_{n}\}$ .

(1)、用 $θ$ 表示出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的外接圆半径；

(2)、当 $θ = 60^{°}$ 时，证明： $\{△ A_{n} B_{n} C_{n}\}$ 各顶点均在 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接圆上或其内部；

(3)、若 $\{△ A_{n} B_{n} C_{n}\}$ 各顶点均在 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接圆上或其内部，求 $\cos θ$ 的取值范围.

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$P (χ^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635