广东省部分学校2025届高三上学期期末联考数学试题

试卷更新日期：2025-01-26 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知 $\cos α = \frac{1}{4}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、1 B、0 C、 $- \frac{15}{16}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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2. 已知 $1, a, 4 a - 4$ 成等比数列，则 $a =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、1

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3. 某地采用如图所示的直四棱柱形交通减速带，其底面为梯形，接触地面的表面宽40（单位；厘米），平行于地面的表面宽10，且距离地面高度为10．某路面要铺设总长为300的交通减速带，则该减速带的体积（不考虑表面凹槽）为（）

A、 $7 \times 10^{4}$ 立方厘米 B、 $7.5 \times 10^{4}$ 立方厘米 C、 $8 \times 10^{4}$ 立方厘米 D、 $8.5 \times 10^{4}$ 立方厘米

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4. 已知一组数据0，7，2，1，从1到10中的整数里随机选择1个数加入这组数据，则得到的新数据与原数据极差相同的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{10}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{9}{10}$

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5. 已知 $a$ 为整数，全集 $U = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $A = \{1, a^{2} - 1\}$ ， $B = \{- 1, 3, a + 1, a^{2}\}$ ，设甲： $a \in B$ ；乙： $A \subseteq B$ ，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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6. 已知 $a > 0$ ，且 $\frac{2}{a}$ 是方程 $x^{2} + b x - 8 = 0$ 的一个根，则 $b + \frac{6}{a}$ 的最小值是（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、4 C、2 D、8

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7. 若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C： $\frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1$ 上，则c的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{3} \ln \frac{x + b}{x}$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，则 ${(2025 b)}^{a} =$ （）

A、1 B、2025 C、 $- 4050$ D、 $- 2025$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知向量 $\vec{m} = (2, 2)$ ， $\vec{n} = (- 1, - 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{m} - \vec{n}) ⊥ \vec{n}$ B、 $(\vec{m} - \vec{n}) / / \vec{n}$ C、 $|\vec{m}| = 2 |\vec{n}|$ D、 $⟨\vec{m}, \vec{n}⟩ = 180 °$

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10. 某地质考察队在一片区域内发现了五处具有研究价值的地质构造点，依照初步判断的研究价值高低，分别标记为1，2，3，4，5号点位，每次考察时，随机选择一处地质构造点进行深入研究，选择各点位的概率与该点标记的序号成正比，比例系数为k，设随机变量G表示选择的地质构造点编号，则（）

A、 $k = \frac{1}{15}$ B、 $P (G = 5) = 0.3$ C、 $E (G) = \frac{11}{3}$ D、 $P (G \leq 3) < P (G \geq 4)$

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11. 设函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) - 1 (0 < φ < \frac{π}{2})$ ，且 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{3}, a)$ 中心对称， $f (0) = a + 1$ ，记 $f (x)$ 的最小正周期为T，且 $2 π < T < 4 π$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $ω = \frac{11}{8}$ C、 $f (\frac{8 π}{3}) = 2 f (\frac{4 π}{3})$ D、 $f (x)$ 在区间 $(0, 2 π)$ 内最多存在两个极值点

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 某上市互联网科技公司为节省开支采用了裁员的手段，统计得到近7个月内每月的裁员人数如下：1，2，2，3，4，5，6，则该组样本数据的上四分位数是．

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13. 已知双曲线C： $a x^{2} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ，且C与直线 $x = 2$ 交于A，B两点，则 $|A B| =$ ．

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14. 设有限项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 ${(x - 2)}^{8} = a_{1} + a_{2} x + \cdot \cdot \cdot + a_{9} x^{8}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前7项和为， $\{(n - 1) a_{n}\}$ 的前7项和为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．

15. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a \sin A + c \sin C = b \sin B + a \sin C$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求B；

(2)、求 $a c$ ；

(3)、若 $a - c = 1$ ，求b．

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16. 已知函数 $f (x) = ln x - a (x - 1)$ ．

(1)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0$ ， $|x_{1} - x_{2}| = 4$ ，求a；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 有且只有一个解，求a．

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17. 如图所示，多面体 $A B C D D_{1} E$ 中，底面ABCD为菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $D D_{1} ⊥$ 平面ABCD， $A D = D D_{1} = 2 C E = 2$ ， $C E / / D D_{1}$ ．

(1)、探究直线BE与平面 $A D D_{1}$ 是否有交点；

(2)、求直线 $A D_{1}$ 与平面 $B E D_{1}$ 所成角的正弦值．

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18. 在平面直角坐标系内， $△ A B C$ 满足： $A = \frac{π}{2}$ ， $B (1, 0)$ ，顶点 $A$ 始终在 $y$ 轴上，设 $D$ 为 $B C$ 的中点， $A D / / x$ 轴，记点 $C$ 的运动轨迹为 $W$ ．

(1)、求 $W$ 的方程；

(2)、直线 $B C$ 与 $W$ 的另一交点为 $E$ ，求以 $C E$ 为直径的圆被 $y$ 轴截得的弧所对的圆心角的最大值．

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19. 在中学数学教材的课后阅读中，我们知道任何一个一元n次方程都有n个复数根，这些根在复平面上对应着一个个的点，比如对于方程 $x^{3} = 1$ 来说，这个方程的3个复数根在复平面上对应的点就是 $(1, 0)$ ， $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 和 $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．而且对于一个一元n次方程 $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{1} x + a_{0} = 0$ ，如果该方程的根分别为 $z_{1}, z_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, z_{n}$ ，那么这个方程可以表示为 $a_{n} (x - z_{1}) (x - z_{2}) \cdot \cdot \cdot (x - z_{n}) = 0$ ，根据以上材料，回答下列问题：

(1)、直接写出方程 $x^{3} - x^{2} + x - 1 = 0$ 与方程 $3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的复数根；

(2)、设函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ （a，b，c为复数且 $a \neq 0$ ），且方程 $f (x) = 0$ 有三个不同根 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 和 $z_{3}$ ，函数 $g (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ ，且方程 $g (x) = 0$ 的根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$
（ⅰ）证明：若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 和 $z_{3}$ 的虚部均为正实数，则 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的虚部也为正实数（其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 与 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 不相等）；
（ⅱ）若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 和 $z_{3}$ 在复平面上所对应的点分别为A，B和C（且A、B、C三点不共线），证明： $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 在复平面上的点始终在 $△ A B C$ 的内部．

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