2025年北师大版数学八年级下册期中模拟试卷（2）[范围：1-3章]

试卷更新日期：2025-03-27 类型：期中考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，分别取边 $B C 、 A^{'} C^{'}$ 的中点 $P 、 Q$ ，则线段 $P Q$ 的长可能是（）

A、6 B、7 C、2 D、3

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2. 用反证法证明“在 $△ A B C$ 中，若 $A B = A C$ ，则 $∠ B < 90 °$ ”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.

A、①③② B、①②③ C、③①② D、③②①

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3. 如图，以 $O A$ 为直角边作等腰直角三角形 $O A B_{1}$ ，再以 $O B_{1}$ 为直角边在 $△ O A B_{1}$ 外侧作等腰直角三角形 $O B_{1} B_{2}$ ， …，如此继续，得到 $n (n \geq 2)$ 个等腰直角三角形，若图中 $△ O A B_{1}$ 的面积是1，则 $△ O B_{n - 1} B_{n}$ 的面积是（）

A、 $2^{n - 1}$ B、 $2^{n}$ C、 ${(\sqrt{2})}^{n - 1}$ D、 ${(\sqrt{2})}^{n}$

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二、填空题（每题3分，共24分）

4. 如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB=°．

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5. 如图，函数 $y = 3 x + b$ 和 $y = a x - 3$ 的图像交于点 $P (- 2 ， - 5)$ ，则不等式 $3 x + b > a x - 3$ 的解集是．

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6. 若不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{5 x - 3}{3} + 3 > x \\ x \leq a \end{matrix}$ 的整数解有四个，则a的取值范围是．

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7. 对非负实数“四舍五入”到个位的值记为 $⟨ x ⟩$ ，即当为非负整数时，若 $n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2}$ ，则 $⟨ x ⟩ = n$ ，如 $⟨ 0.46 ⟩ = 0$ ， $⟨ 3.67 ⟩ = 4$ ，给出下列关于 $⟨ x ⟩$ 的结论：
① $⟨ 1.493 ⟩ = 1$ ；② $⟨ 2 x ⟩ = 2 ⟨ x ⟩$ ；
③若 $⟨ \frac{1}{2} x - 1 ⟩ = 4$ ，则实数 $x$ 的取值范围是 $9 \leq x < 11$ ；
④当 $x \geq 0$ ， $m$ 为非负整数时，有 $〈m + x〉 = m + 〈x〉$ ；
⑤ $⟨ x + y ⟩ = ⟨ x ⟩ + ⟨ y ⟩$ ；
其中，正确的结论有（填写所有正确的序号）.

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三、作图题（共6分）

8. 如图，在平面直角坐标系中， $Rt △ A B C$ 的顶点都在格点上，点 $A$ 的坐标为 $(1, 1)$ ．

(1)、将 $Rt △ A B C$ 先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 $Rt △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请在图中画出 $Rt △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标．

(2)、再将 $Rt △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，绕点 $A_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $Rt △ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在图中画出 $Rt △ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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四、计算题（共2题，共14分）

五、解答题（共6题，共52分）

9. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别是E ， F ，连接 $E F$ ， $E F$ 与 $A D$ 相交于点G ．

(1)、求证： $A D$ 是 $E F$ 的垂直平分线；

(2)、若 $A B + A C = 9$ ， $E D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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10. 某商场计划购买 $A$ 、 $B$ 两种型号的洗衣机共80台．已知购买5台 $A$ 型洗衣机和4台 $B$ 型洗衣机需37元，且3台 $A$ 型洗衣机比2台 $B$ 型洗衣机多9元．

(1)、求每台 $A$ 型和 $B$ 型洗衣机的价格；

(2)、若商场用100元购买这两种洗衣机共30台，求最多可以购买多少台 $A$ 型洗衣机．

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11. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．

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12. 某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元.设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元.

(1)、写出y与x的函数关系式；

(2)、该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元?

(3)、商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元(0<a<15)出售，且限定商场最多购进甲种商品60件.在(2)的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值.

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13. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如： $2 x - 1 = 3$ 的解为 $x = 2$ ， $\{\begin{array}{l} 2 x - 3 ＜ 9 - x \\ 5 x + 5 \geq 2 x - 4 \end{array}$ 的解集为 $- 3 \leq x < 4$ ，不难发现 $x = 2$ 在 $- 3 \leq x < 4$ 的范围内，所以 $2 x - 1 = 3$ 是 $\{\begin{array}{l} 2 x - 3 ＜ 9 - x \\ 5 x + 5 \geq 2 x - 4 \end{array}$ 的“子方程”．
问题解决：

(1)、在方程① $3 x - 1 = 0$ ， ② $\frac{2}{3} x - 1 = 0$ ， ③ $2 x + 3 (x + 2) = 21$ 中，不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x - 1 > x + 1 \\ 3 (x - 2) - x \leq 4 \end{array}$ 的“子方程”是；（填序号）

(2)、若关于x的方程 $2 x - k = 2$ 是不等式组 $\{\begin{array}{l} 3 x - 6 > 4 - x \\ x - 1 \geq 4 x - 10 \end{array}$ 的“子方程”，求k的取值范围．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点B，且与正比例函数 $y = \frac{3}{2} x$ 的图象交于点 $C (m, 6)$

(1)、求m的值和一次函数的表达式；

(2)、求 $△ O B C$ 的面积；

(3)、在 $x$ 轴上是否存在点M，使得 $△ A B M$ 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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