5.分式的运算—备考中考数学计算专项训练

试卷更新日期：2025-03-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式 $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} (v \neq f)$ 表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（）

A、 $\frac{f v}{f - v}$ B、 $\frac{f - v}{f v}$ C、 $\frac{f v}{v - f}$ D、 $\frac{v - f}{f v}$

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2. 化简 $\frac{4 a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}$ 的结果是（）

A、 $- 2 a + b$ B、 $- 2 a - b$ C、 $2 a + b$ D、 $2 a - b$

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3. 如果关于x的分式方程 $\frac{2 x - m}{x + 1} = 1$ 的解是负数，那么实数m的取值范围是（）

A、 $m < - 1$ B、 $m > - 1$ 且 $m \neq 0$ C、 $m > - 1$ D、 $m < - 1$ 且 $m \neq - 2$

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4. 已知A为整式，若计算 $\frac{A}{x y + y^{2}} - \frac{y}{x^{2} + x y}$ 的结果为 $\frac{x - y}{x y}$ ，则A＝（）

A、x B、y C、x+y D、x﹣y

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5. 在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

6. 若分式 $\frac{1 + x}{x - 4}$ 的值为2，则 $x =$ ．

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7. 若分式 $\frac{| x | - 2}{x - 2}$ 的值为零，则x的值为．

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8. 若 $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ =3，则 $\frac{a + b}{2 a - a b + 2 b}$ 的值为．

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9. 若 $3 a b - 3 b^{2} - 2 = 0$ ，则代数式 $(1 - \frac{2 a b - b^{2}}{a^{2}}) \div \frac{a - b}{a^{2} b}$ 的值为.

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10. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，记 $S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $S_{2} = \frac{2}{1 + a^{2}} + \frac{2}{1 + b^{2}}$ ，…， $S_{100} = \frac{100}{1 + a^{100}} + \frac{100}{1 + b^{100}}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{100} =$ .

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11. 已知 $a - \frac{1}{a} = 1$ ，则 $[\frac{a (2 a - 5)}{a - 2} - a - 2] \div \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 4 a + 4} - \frac{11}{a + 4}$ 的值为．

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三、计算题

12. 先化简，再求值： $\frac{2}{x^{2} - 4} \div (1 - \frac{x}{x + 2})$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 2$ ．

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13.

(1)、解方程： $\frac{x}{x - 1} = \frac{3}{2 x - 2} - 2$

(2)、先化简，再求值： $A = (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}) \div \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 1$ ．

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14. 先化简 $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$ ，再从 $- 2$ ， $- 1$ ，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值.

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15. 先化简，再求值： $\frac{a^{3} - a}{a^{2} + 2 a + 1} \div \frac{a - 1}{2 a + 2} + (1 + \frac{2}{a} - \frac{a + 1}{a - 2}) \cdot \frac{2 a^{3} - 4 a^{2}}{a + 1}$ ，其中a的值在0，1，﹣1，2，5中选出一个合适的值．

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四、阅读理解题

16. 阅读理解
材料1：观察数轴可知，当 $x > 0$ 时，随着x的不断增大， $\frac{1}{x}$ 的值随之减小，并无限接近0；当： $x < 0$ 时，随着x的不断增大， $\frac{1}{x}$ 的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：
$\frac{2 x + 1}{x - 4} ＝ \frac{2 x - 8 + 8 + 1}{x - 4} ＝ \frac{2 x - 8}{x - 4} + \frac{8 + 1}{x - 4} ＝ 2 + \frac{9}{x - 4} ．$ 根据上述材料完成下列问题：

(1)、当 $x > 0$ 时，随着x的不断增大， $1 + \frac{1}{x}$ 的值（增大或减小）；
当 $x < 0$ 时，随着x的不断增大， $\frac{x + 2}{x}$ 的值（增大或减小）；

(2)、当 $x > 3$ 时，随着x的不断增大． $\frac{5 x - 2}{x - 3}$ 的值无限接近一个数，请求出这个数．

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17. 阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ ；
立方差公式： $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ .
根据材料和已学知识解决下列问题

(1)、因式分解： $a^{3} - 8$ ；

(2)、先化简，再求值： $(\frac{3 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} - 8}) \div \frac{2}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = 3$ .

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