2025年山东省烟台市数学中考模拟试卷

试卷更新日期：2025-03-23 类型：中考模拟

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 $2 a + 3 a = 5 a$ D、 $\frac{2}{a} + \frac{3}{a} = \frac{5}{2 a}$

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2. 如图是一个粉笔盒的表面展开图，若字母A表示粉笔盒的上盖，B表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是（）

A、① B、② C、③ D、④

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3. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（）

A、 $- c < b$ B、 $a > - c$ C、 $|a - b| = b - a$ D、 $|c - a| = a - c$

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4. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一，已知1毫米 $= 1$ 百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（）

A、 $0.15 \times 1 0^{3}$ 纳米 B、 $1.5 \times 1 0^{4}$ 纳米 C、 $15 \times 1 0^{- 5}$ 纳米 D、 $1.5 \times 1 0^{- 6}$ 纳米

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5. 一组数据的方差计算公式为： $s^{2} = \frac{1}{4} [(6 - \bar{x})^{2} + (6 - \bar{x})^{2} + (7 - \bar{x})^{2} + (9 - \bar{x})^{2}]$ ，下列关于这组数据的说法错误的是（）

A、平均数是7 B、中位数是6.5 C、众数是6 D、方差是1

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6. 如图， $Δ A O B$ 的外角 $∠ C A B, ∠ D B A$ 的平分线 $A P, B P$ 相交于点 $P$ ， $P E ⊥ O C$ 于 $E$ ， $P F ⊥ O D$ 于 $F$ ，下列结论：（1） $P E = P F$ ；（2）点 $P$ 在 $∠ C O D$ 的平分线上；（3） $∠ A P B = 90 ° - ∠ O$ ，其中正确的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7. $《$ 九章算术 $》$ 是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程 $[$ 七 $]$ 中记载“今有牛五、羊二，直金十两 $.$ 牛二、羊五，直金八两 $.$ 牛、羊各直金几何？”题目大意是：“ $5$ 头牛、 $2$ 只羊共值金 $10$ 两 $. 2$ 头牛、 $5$ 只羊共值金 $8$ 两，每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金 $x$ 两，每只羊值金 $y$ 两，那么下面列出的方程组中正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 8 \\ 2 x + 5 y = 10 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 8 \\ x + y = 10 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 8 \\ 2 x + 5 y = 10 \end{array}$

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8. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 的顶点在直线 $y = k x + 1$ 上，对称轴为直线 $x = 1$ ，有以下四个结论：① $a b < 0$ ， ② $b < \frac{1}{3}$ ， ③ $a = - k$ ， ④当 $0 < x < 1$ 时， $a x + b > k$ ，其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、②③④

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二、填空题（每题3分，共18分）

9. 计算： $- (- 5) - 2^{2} + \sqrt{16} - {(- 1)}^{2025} =$ ．

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10. 若方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 6 \end{array}$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} 5 a_{1} x - 3 b_{1} y = 4 c_{1} \\ 5 a_{2} x - 3 b_{2} y = 4 c_{2} \end{array}$ 的解是.

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11. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c是常数， $a < 0$ ）经过 $(- 1, 1)$ ， $(m, 1)$ 两点，且 $0 < m < 1$ ．下列四个结论：
① $b > 0$ ；
②若 $0 < x < 1$ ，则 $a (x - 1)^{2} + b (x - 1) + c > 1$ ；
③若 $a = - 1$ ，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 2$ 无实数解；
④点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 在抛物线上，若 $x_{1} + x_{2} > - \frac{1}{2}$ ， $x_{1} > x_{2}$ ，总有 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $0 < m \leq \frac{1}{2}$ ．
其中正确的是（填写序号）．

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三、解答题（共8题，共72分）

12. 老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．

(1)、写出这个“接力游戏”中计算错误的同学；

(2)、请你写出正确的解答过程．

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13. 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客 $45$ 人的 $A$ 种客车若干辆，则有 $30$ 人没有座位；若租用可坐乘客 $60$ 人的 $B$ 种客车，则可少租 $6$ 辆，且恰好坐满．

(1)、求原计划租用 $A$ 种客车多少辆？这次研学去了多少人？

(2)、若该校计划租用 $A$ 、 $B$ 两种客车共 $25$ 辆，要求 $B$ 种客车不超过 $7$ 辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？

(3)、在（2）的条件下，若 $A$ 种客车租金为每辆 $220$ 元， $B$ 种客车租金每辆 $300$ 元，应该怎样租车才最合算？

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14. 如图，在 $R t △ A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $⊙ O$ 与 $A B$ 相交于点 $C$ ，与 $A O$ 相交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，已知 $∠ A O C = 2 ∠ A C E$ ．
（1）求证： $A B$ 为 $⊙ O$ 的切线；
（2）若 $A O = 20$ ， $B O = 15$ ，求 $C E$ 的长．

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15. 问题：如何将物品搬过直角过道?

情景：图1是一直角过道示意图，O，P为直角顶点，过道宽度都是 $1.2 m$ .矩形ABCD是某物品经过该过道时的俯视图，宽AB为 $0.8 m$ .

操作：

步骤	动作	目标
1	靠边	将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上
2	推移	矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点 $O$ 在边AD上
3	旋转	如图2，将矩形ABCD绕点 $O$ 旋转 $9 0^{°}$
4	推移	将矩形ABCD沿OT方向继续推移

探究：

(1)、如图2，已知BC=1.6m，OD=0.6m.小明求得

O C = 1 m

后，说：“

O C < 1.2 m

，该物品能顺利通过直角过道.”你赞同小明的结论吗？请通过计算说明.

(2)、如图3，物品转弯时被卡住（

C, B

分别在墙面PQ与PR上)，若

t a n ∠ C B P = \frac{3}{4}

.求OD的长.

(3)、求该过道可以通过的物品最大长度，即求BC的最大值(精确到0.01米，

\sqrt{5} \approx 2.236

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