专题20 新定义型问题中的作图——中考数学新考法靶向训练

试卷更新日期：2025-03-22 类型：二轮复习

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一、作图题

1. 若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”，例如：如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，则四边形 $A B C D$ 是近似菱形．

(1)、请在图 $2$ 中作出一个以 $B D$ 为对角线的“近似菱形” $A B C D$ ，顶点 $A$ 、顶点 $C$ 要在网格格点上．

(2)、如图 $3$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $A D / / B C$ ， $∠ C A D = 2 ∠ D B C$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是“近似菱形”．

(3)、在（2）的条件下，若BD=6，CD=2，求 $A B$ 的长．

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2. 阅读与思考，阅读下列材料，完成相应的任务．
欧几里德数
一般地，给定单位长度1，一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里德数．例如，如图1所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位1．借助方格图，可以构造出线段AB，CD，EF分别表示正整数2，3，4，也可以构造出线段MN表示正分数 $\frac{1}{2}$ ．事实上，所有的正有理数都是欧几里德数．
任务：如图2，图3，图4所示的方格图中，每个小正方形的边长均为单位长度1．

(1)、请在图2中用两种方法构造线段表示正整数5（该线段的端点均为格点）；

(2)、小彬由材料中的结论出发展开联想，经过探究，发现正无理数 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ 也是欧几里德数，可分别用图3中两个三角形的边XY，PQ表示，其思考与作图方法如下：
$\sqrt{2} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}}$ ，取网格中 $M X = M Y = 1$ ，且 $∠ X M Y = 90 °$ ，连接XY，则 $X Y = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ ．
$\sqrt{3} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}}$ ，取网格中线段 $O N = 2$ ， $O Q = 1$ ，以点O为圆心，ON长为半径作弧交网格线于点P，连接OP，且 $P Q ⊥ O Q$ ，则 $P Q = \sqrt{3}$ ．
在图4中借助网格和尺规，用两种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数 $2 \sqrt{2}$ （保留作图痕迹，不写作法）．

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3. 定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形.

(1)、如图1，四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°，∠ACD＝∠ADC＝80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形.

(2)、如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A，B，C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为邻和四边形.

(3)、如图3，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝4 $\sqrt{3}$ ，若存在一点D，使四边形ABCD是邻和四边形，求邻和四边形ABCD的面积.

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4. 我们定义：只有一组对角相等的四边形叫做等对角四边形．

(1)、四边形 $A B C D$ 是等对角四边形， $∠ A \neq ∠ C$ ，若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = 80 °$ ，则 $∠ C =$ _____， $∠ D =$ ______．

(2)、如图①、图②均为 $4 \times 4$ 的正方形网格，线段 $A B 、 B C$ 的端点均在格点上，按要求以 $A B 、 B C$ 为边在图①、图②中各画一个等对角四边形 $A B C D$ ．要求：四边形 $A B C D$ 的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．

(3)、如图③，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 12$ ， $A D = 6$ ，点E为 $A B$ 的中点，过点E作 $E F ⊥ D C$ ，交 $D C$ 于点F．点P是射线 $F E$ 上一个动点，设 $F P = x$ ，求以点A、D、E、P为顶点的四边形为等对角四边形时x的值．

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5. 我们不妨定义：如果两个图形（或函数图象）关于y轴对称，我们称互为蝴蝶图形（或互为蝴蝶图像）；如果两个图形（或函数图象）关于x轴对称，我们称互为倒影图形（或互为倒影图像）；如果两个图形（或函数图象）关于原点对称，我们称互为梦幻图形（或互为梦幻函数图象）

(1)、在图1中画出 $△ A B C$ 的蝴蝶图形．

(2)、直接写出图像 $y = x + 1$ 的倒影图像的解析式：

(3)、已知函数图象m是函数图象 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的梦幻函数图象，则函数图象m的解析式为 ▲ （要求顶点式），并列表描点法在图2画出函数图象，利用函数图象m直接写出当 $- 3 < x < 0$ ， y的取值范围 ▲ ．
列表
x
…

…
y
…

…

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6. 在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，且 $A P = B P ， P C = A C$ ，则点 $P$ 为等腰 $△ A B C$ 的“双合点”．

(1)、如图2，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点” $P$ （保留作图痕迹）；

(2)、在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，
①如图3，当“双合点” $P$ 恰好在边 $B C$ 上时，且满足 $P C = A C$ ，求 $∠ B A C$ 度数；②当“双合点” $P$ 在边 $B C$ 的延长线上时，则 $∠ A =$ ___________；

(3)、如图4，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $Q$ 为 $△ A B C$ 内一点，连接 $A Q$ ， $B Q$ ，当 $∠ C A Q = ∠ C B Q = 15^{\circ}$ 时，求证：点 $Q$ 为等腰 $△ A B C$ 的“双合点”．

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7. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点 M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂），M 与 N 的“直角距离”记为 d_MN ， d_MN＝|x₁﹣x₂|+|y₁﹣y₂|．例如，点 M（1，5）与 N（7，2）的“直角距离”d_MN＝|1﹣7|+|5﹣2|＝9．

(1)、已知点 A（4，﹣1）．
①点 A 与点 B（1，3）的“直角距离”d_AB＝；
②若点 A 与整点 C（﹣2，m）的“直角距离”d_AC＝8，则 m 的值为；

(2)、小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站 P，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是 D（﹣2，﹣1）和 E（2，2）．
①若对于火警高危点 D 和 E，消防站 P 不仅要满足上述条件，还需要消防站 P 到 D，E
两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件消防站 P 的坐标可以是（写出一个即可），所有满足条件的消防站 P 的位置共有个；
②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点 F（4，﹣2），那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站 P 的坐标为．

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作 $P_{1}$ ， $P_{1}$ 关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作 $P_{2}$ ．例如，点 $P (- 2, 5)$ 的一次反射点为 $P_{1} (2, 5)$ ，二次反射点为 $P_{2} (5, 2)$ ．根据定义，回答下列问题：

(1)、点 $(2, 5)$ 的一次反射点为，二次反射点为；

(2)、若点A在第二象限，点 $A_{1}$ $A_{2}$ 分别是点A的一次、二次反射点， $∠ A_{1} O A_{2} = 50 °$ ，求射线OA与x轴所夹锐角的度数．

(3)、若点A在y轴左侧，点 $A_{1}$ $A_{2}$ 分别是点A的一次、二次反射点， $△ A A_{1} A_{2}$ 是等腰直角三角形，请直接在平面直角坐标系中画出由符合题意的点A所构成的图形．

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9. 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．

(1)、概念理解；如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，作出 $△ A B C$ 的共边直角三角形（画一个就行）．

(2)、问题探究，如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $△ A B D$ 与 $△ A B C$ 是共边直角三角形．连接 $C D$ ．当 $C D ⊥ A B$ 时，求 $C D$ 的长．

(3)、拓展延伸，如图3所示， $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 是共边直角三角形， $B D = C D$ ，求证： $A D$ 平分 $∠ C A B$ ．

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10. 我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，且 $B C \neq A C$ ，请你在图1中作出 $△ A B C$ 的一条“等分积周线”；

(2)、在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．

(3)、如图2，四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $E F$ 垂直平分 $A D$ ，垂足为F，交 $B C$ 于点E，已知 $A B = 4$ ， $B C = 10$ ， $C D = 6$ ．求证：直线 $E F$ 为四边形 $A B C D$ 的“等分积周线”；

(4)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 7 cm$ ， $A C = 10 cm$ ，请你不过 $△ A B C$ 的顶点，画出 $△ A B C$ 的一条“等分积周线”，并说明理由．

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11. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.

(1)、初步尝试：如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹.

(2)、理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形.

(3)、综合应用：如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB=∠DAE=90°，连结BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形.

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12. 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形.

(1)、写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是.

(2)、如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上.

(3)、如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形.

(4)、如图3，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，以AC为边在AC的右上方作等腰三角形，使四边形ABCD是垂等四边形，请直接写出四边形ABCD的面积.

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13. 定义：有两个相邻内角互余的凸四边形称为互余四边形，这两个角的夹边称为互余线.

(1)、在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，E、F分别是BD，AD上的点，求证：四边形ABEF是互余四边形；

(2)、如图2，在5×4的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的互余四边形ABEF，使AB是互余线，E、F在格点上；

(3)、如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N，若N为AC的中点，DE=2BE，如互余线AB=10，求BQ的长.

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14. 【定义】
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.

(1)、【理解】
如图，已知A，B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使 $△ A B C$ 为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；

(2)、如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且 $C F = \frac{1}{4} C D$ ，试判断 $△ A E F$ 是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：

(3)、如图3，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，⊙O的半径为，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得 $△ O P Q$ 为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标.

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x	…						…
y	…						…