2025届广东省深圳一模深圳市高三年级第一次调研考试

试卷更新日期：2025-03-03 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合 $M = \{x |\sqrt{x} < 2\}, N = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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2. 已知 $z = \frac{1 + 2 i}{2 - i}$ （i为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (1, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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4. 已知 $\frac{sin (α + β)}{sin (α - β)} = 3$ ，则 $\frac{tan α}{tan β} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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5. 已知函数 $f (x)$ 的周期为 $2$ ，且在 $(0, 1)$ 上单调递增，则 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = sinπ x$ B、 $f (x) = |sin \frac{π}{2} x|$ C、 $f (x) = cos 2 π x$ D、 $f (x) = tanπ x$

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6. 已知双曲线 $E$ 的中心为原点，焦点在 $x$ 轴上，两条渐近线夹角为 $60 °$ ，且点 $(1, 1)$ 在 $E$ 上，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或2

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7. 已知曲线 $y = e^{x - 1}$ 与曲线 $y = a ln x + a (a > 0)$ 只有一个公共点，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、e D、 $e^{2}$

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8. 如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为 $6.5$ ，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为 $r$ 的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则 $r =$ （）

A、 $1.5$ B、2 C、3 D、 $3.25$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}), i \in \{1, 2, 3, \dots, 100\}$ ．其中 $x_{i} > 1895$ ， $\sum_{i = 1}^{100} x_{i} = 2 \times 10^{5}$ ， $\sum_{i = 1}^{100} y_{i} = 970$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.02 x + \hat{a_{1}}$ ，残差为 $\hat{e_{i}}$ ．对样本数据进行处理： ${x^{'}}_{i} = ln (x_{i} - 1895)$ ，得到新的数据 $({x^{'}}_{i}, y_{i})$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.42 x + \hat{a_{2}}$ ，其残差为 ${\hat{u}}_{i}$ 、 $\hat{e_{i}}$ ， ${\hat{u}}_{i}$ 分布如图所示，且 $\hat{e} ~ N (0, σ_{1}^{2}), \hat{u} ~ N (0, σ_{2}^{2})$ ，则（）

A、样本 $(x_{i}, y_{i})$ 负相关 B、 $\hat{a_{1}} = 49.7$ C、 $σ_{1}^{2} < σ_{2}^{2}$ D、处理后的决定系数变大

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10. 已知函数 $f (x) = sin x + sin 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为周期函数 B、存在 $t \in R$ ，使得 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = t$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3}, \frac{3 π}{4})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的最大值为 $2$

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11. 已知 $O (0, 0), A (a, 0), B (a, 1), C (0, 1), D (0, - 1)$ ，其中 $a \neq 0$ ．点 $M, N$ 分别满足 $\vec{A M} = λ \vec{A B}, \vec{O N} = (1 - λ) \vec{O A}$ ，其中 $0 < λ < 1$ ，直线 $C M$ 与直线 $D N$ 交于点 $P$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，直线 $C M$ 与直线 $D N$ 斜率乘积为 $- \frac{1}{a^{2}}$ B、当 $a = - 1$ 时，存在点 $P$ ，使得 $|D P| = 2$ C、当 $a = 2$ 时， $△ P A C$ 面积最大值为 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ D、若存在 $λ$ ，使得 $|D P| > 2$ ，则 $a \in (- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, + \infty)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. ${(2 x + \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）．

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13. 在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} a_{3} = 9, a_{2} + a_{4} = 9$ ，则 $a_{4} =$ ．

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14. 某次考试共5道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣1分，每个人的基本分为10分．已知赵，钱，孙，李，周，吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为．
人
题号
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√
√
×
×
√
√
2
×
√
×
√
√
√
3
√
×
×
√
×
×
4
√
×
×
×
√
×
5
×
×
√
√
√
√
得分
14
11
14
14
11

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, c^{2} = a^{2} + b^{2} - a b, cos 2 B = sin C$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{3}, ∠ B A C = 120 °$ ， $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $E$ 为 $B C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、若 $B B_{1} = 6$ ，求直线 $A_{1} B$ 与平面 $D B C_{1}$ 所成角的正弦值．

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17. 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，输的概率为 $1 - p$ ，每局比赛的结果是独立的．

(1)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，求甲最终获胜的概率；

(2)、为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得 $- 2$ 分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．

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18. 已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ ，过点 $N (2, 0)$ 作两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别交抛物线于 $A, B$ 和 $C, D$ （其中 $A, C$ 在 $x$ 轴上方）．

(1)、当 $l_{1}$ 垂直于 $x$ 轴，且四边形 $A C B D$ 的面积为 $4 \sqrt{5}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、当 $l_{1}, l_{2}$ 倾斜角互补时，直线 $A C$ 与直线 $B D$ 交于点 $M$ ，求 $△ M A B$ 的内切圆的圆心横坐标的取值范围．

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19. 已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足， $a_{1}, a_{2}$ 为正整数， $a_{n} = |a_{n + 1} - a_{n + 2}|, n \in N^{*}$ ．

(1)、若 $a_{1} = 1, a_{3} = 2$ ，求 $a_{4}$ ；

(2)、证明：“存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $a_{k} = 0$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 是周期为3的数列”的必要不充分条件；

(3)、若 $a_{1} \neq a_{2}$ ，是否存在数列 $\{a_{n}\}$ ，使得 $a_{n} < 2025$ 恒成立？若存在，求出一组 $a_{1}, a_{2}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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人题号	赵	钱	孙	李	周	吴
1	√	√	×	×	√	√
2	×	√	×	√	√	√
3	√	×	×	√	×	×
4	√	×	×	×	√	×
5	×	×	√	√	√	√
得分	14	11	14	14	11