2015-2016学年云南省昆明市九校联考高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合A={0，1，2，3}，B={x|x²﹣4x+3＜0}，则A∩B=（）

A、{2} B、{1，2} C、{1，2，3} D、{0，1，2，3}

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2. 复数z= $\frac{- 3 + i}{2 + i}$ 的模是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 若tan（π+α）=2，则sin2α=（）

A、- $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，则a₄=（）

A、7 B、9 C、15 D、17

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5. 执行如图的程序框图，若输入t=﹣1，则输出t的值等于（）

A、3 B、5 C、7 D、15

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6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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7. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} e^{x - 1} ， x < 1 \\ x^{\frac{1}{3}} ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是（）

A、（﹣∞，1] B、（﹣∞，1+ln2] C、（﹣∞，8] D、[1，8）

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8. 在区间[﹣2，2]内任取一个实数x，在区间[0，4]内任取一个实数y，则y≥x²的概率等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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9. 有下列命题中，正确的是（）

A、“若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ”的逆命题 B、命题“∃x∈R， $x + \frac{1}{x} ＜ 2$ ”的否定 C、“面积相等的三角形全等”的否命题 D、“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题

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10. 把函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，所得图象关于y轴对称，则φ可以为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $- \frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右顶点为A₁ ， A₂ ，抛物线E以坐标原点为顶点，以A₂为焦点．若双曲线C的一条渐近线与抛物线E及其准线分别交于点M，N，且 $\vec{A_{1} N} = \vec{M A_{2}}$ ，∠MA₁N=135°，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. f'（x）是函数f（x）的导函数，f''（x）是函数f'（x）的导函数．对于三次函数y=f（x），若方程f''（x₀）=0，则点（ $x_{0} ， f (x_{0})$ ）即为函数y=f（x）图象的对称中心．设函数f（x）= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{12}$ ，则f（ $\frac{1}{2017}$ ）+f（ $\frac{2}{2017}$ ）+f（ $\frac{3}{2017}$ ）+…+f（ $\frac{2016}{2017}$ ）=（）

A、1008 B、2014 C、2015 D、2016

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二、填空题

13. 设 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（2，4）， $\vec{c}$ =λ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 且 $\vec{c}$ ⊥ $\vec{a}$ ，则λ= ．

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14. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中，x的系数为．

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15. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq x + 1 \\ x + y \leq 2 \\ 0 \leq x \leq \frac{3}{2} \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=2x﹣y的最大值是．

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16. 球面上四点A，B，C，D满足AB=1，BC= $\sqrt{3}$ ，AC=2，若四棱锥D﹣ABC体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则这个球体的表面积为．

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三、解答题

17. 已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且a₂=2，S₅=15．

(1)、求通项公式a_n；

(2)、若数列{b_n}满足b_n=2^an﹣a_n ，求{b_n}的前n项和T_n ．

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18. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinBcosA﹣bsinC=0．

(1)、求角A；

(2)、若△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，b+c=5，求a．

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19. 如表中给出了2011年～2015年某市快递业务总量的统计数据（单位：百万件）
年份
2011
2012
2013
2014
2015
年份代码
1
2
3
4
5
快递业务总量
34
55
71
85
105

(1)、在图中画出所给数据的折线图；

(2)、建立一个该市快递量y关于年份代码x的线性回归模型；

(3)、利用（2）所得的模型，预测该市2016年的快递业务总量．
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
斜率： $\overset{⌢}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}}$ ，纵截距： $\overset{⌢}{a} = \bar{Y} - \overset{⌢}{b} \bar{X}$ ．

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20. 如图，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，PA=AB=BC，AD=2AB，点M，N分别在PB，PC上，且MN∥BC．

(1)、证明：平面AMN⊥平面PBA；

(2)、若M为PB的中点，求二面角M﹣AC﹣D的余弦值．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（1，0），点P（1， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）在椭圆C上．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过坐标原点O的两条直线EF，MN分别与椭圆C交于E，F，M，N四点，且直线OE，OM的斜率之积为﹣ $\frac{1}{2}$ ，求证：四边形EMFN的面积为定值．

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22. 已知函数f（x）= $\frac{2}{x}$ +3lnax﹣x，g（x）=xe^x+cosx（a≠0）．

(1)、求函数y=f（x）的单调区间；

(2)、若∃x₁∈[1，2]，x₂∈[0，3]，使得f（ $x_{1}$ ）＞g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

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年份	2011	2012	2013	2014	2015
年份代码	1	2	3	4	5
快递业务总量	34	55	71	85	105