2015-2016学年山东省潍坊市高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 复数 $\frac{i}{1 - i}$ 的共轭复数为（）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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2. 设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x＜5}，则集合（∁_UA）∩B=（）

A、{x|0＜x＜2} B、{x|0≤x＜2} C、{x|0＜x≤2} D、{x|0≤x≤2}

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3. 全称命题：∀x∈R，x²＞0的否定是（）

A、∀x∈R，x²≤0 B、∃x∈R，x²＞0 C、∃x∈R，x²＜0 D、∃x∈R，x²≤0

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4. 函数f（x）=ln $\frac{3 x}{2}$ ﹣ $\frac{2}{x}$ 的零点一定位于区间（）

A、（1，2） B、（2，3） C、（3，4） D、（4，5）

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5. 已知函数f（x）对任意的x∈R有f（x）+f（﹣x）=0，且当x＞0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“ $b < \frac{1}{a}$ ”的（　　）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若 $\frac{1 + 7 i}{2 - i}$ =a+bi（a，b∈R），i是虚数单位，则乘积ab的值是（）

A、﹣15 B、3 C、﹣3 D、5

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8. 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（　　）

A、 $\frac{11}{27}$ B、 $\frac{11}{24}$ C、 $\frac{16}{27}$ D、 $\frac{9}{24}$

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9. 甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（）

A、72种 B、54种 C、36种 D、24种

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10. 设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x）且有3f（x）+xf′（x）＜0，则不等式（x+2016）³f（x+2016）+8f（﹣2）＜0的解集为（）

A、（﹣2018，﹣2016） B、（﹣∞，﹣2018） C、（﹣2016，﹣2015） D、（﹣∞，﹣2012）

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二、填空题

11. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} 2^{x} - 1 ， x \geq 0 \\ - x^{2} - 2 x ， x < 0 \end{matrix}$ ，若f（a）=1，则实数a的值是．

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12. 已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x﹣2），当x∈（0，1）时，f（x）=3^x ，则f（ $\frac{7}{2}$ ）= ．

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13. 观察下列不等式：
1+ $\frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$ ，1+ $\frac{1}{2^{2}} + \frac{3}{2} < \frac{5}{3}$ ，
1+ $\frac{1}{2^{2}}$ + $\frac{1}{3^{2}}$ + $\frac{1}{4^{2}}$ $< \frac{7}{4}$
…
照此规律，第五个不等式为．

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14. 若（2x﹣3）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵ ，则a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅等于．

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15. 若关于x的不等式 $x^{2} + \frac{1}{2} x - {(\frac{1}{2})}^{n}$ ≥0对任意n∈N^*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是．

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三、解答题

16. 设命题p：实数x满足x²﹣4ax+3a²＜0（a＞0），命题q：实数x满足 $\frac{x - 3}{x - 2}$ ≤0，

(1)、若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)、若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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17. 设f（x）=|x+1|+|x﹣1|．

(1)、求f（x）≤x+2的解集；

(2)、若不等式f（x）≤log₂（a²﹣4a+12）对任意实数a恒成立，求x的取值范围．

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18. 已知{f_n（x）}满足f₁（x）= $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ （x＞0），f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，

(1)、求f₂（x），f₃（x），并猜想f_n（x）的表达式；

(2)、用数学归纳法证明对f_n（x）的猜想．

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19. 五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的边界时，重新转一次）指针所在的区域及对应的返券金额见表．
例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．

(1)、已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望Eξ= $\frac{1}{25}$ ，方差Dξ= $\frac{99}{2500}$ ，求n、p的值；

(2)、顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η（元）．求随机变量η的分布列和数学期望．
指针位置
A区域
B区域
C区域
返券金额（单位：元）
60
30
0

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20. 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+ $\sqrt{x}$ ）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．假设需要新建n个桥墩．

(1)、写出n关于x的函数关系式；

(2)、写出y关于x的函数关系式；

(3)、当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

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21. 已知函数f（x）=ax﹣lnx﹣1，若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+y﹣1=0垂直．

(1)、求a的值；

(2)、函数g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）（m∈R）恰有两个零点x₁ ， x₂（x₁＜x₂），求函数g（x）的单调区间及实数m的取值范围．

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指针位置	A区域	B区域	C区域
返券金额（单位：元）	60	30	0