2015-2016学年山东省威海市高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知复数z=1+i（i为虚数单位），则复数 $\frac{5}{z^{2}}$ ﹣z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（　　）
①y=sinx（x∈R ）是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y=sinx（x∈R ）是周期函数．

A、①②③ B、②①③ C、②③① D、③②①

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3. 已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P（X＜2）=（）

A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D、0.1585

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4. 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 以下四个命题正确的个数（）
①用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个奇数”时正确的反设为“自然数a，b，c中至少有两个奇数或都是偶数”；
②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；
③在回归直线方程 $\hat{y}$ =﹣0.3x+10中，当变量x每增加一个单位时，变量 $\hat{y}$ 平均增加0.3个单位；
④抛物线y=x²过点（ $\frac{3}{2}$ ，2）的切线方程为2x﹣y﹣1=0．

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 曲线y=sinx与x轴在区间[﹣π，2π]上所围成阴影部分的面积为（）

A、6 B、4 C、2 D、0

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7. 7个人排成一列，其中甲、乙两人相邻且与丙不相邻的方法种数是（）

A、1200 B、960 C、720 D、480

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8. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
合    计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合    计
60
50
110
根据上述数据能得出的结论是（   ）
（参考公式与数据：X²= $\frac{n {(n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})}^{2}}{n_{1} + n_{2} + n_{1} + n_{2}}$ ．当X²＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当X²＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当X²＜3.841时认为事件A与B无关．）

A、有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B、有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”．

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9. 有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p，录用到能力中等的人的概率为q，则（p，q）=（）

A、（ $\frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{6}$ ） B、（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{6}$ ） C、（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ） D、（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ）

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10. 已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x² ，在（1，2）内任取两个实数x₁ ， x₂（x₁≠x₂），若不等式 $\frac{f (x_{1} + 1) - f (x_{2} + 1)}{x_{1} - x_{2}}$ ＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、（28，+∞） B、[15，+∞） C、[28，+∞） D、（15，+∞）

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二、填空题

11. 设复数z满足z+|z|i=3+9i（i为虚数单位），则z= ．

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12. 函数y=x²﹣4lnx 的单调递减区间是．

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13. 已知（1+x+ax³）（x+ $\frac{1}{x}$ ）⁵展开式的各项系数和为96，则该展开式的常数项是．

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14.
如图所示三角形数阵中，a_ij为第i行第j个数，若a_mn=2017，则实数对（m，n）为．

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15. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给8位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：
①食物投掷地点有远、近两处；
②由于“萌娃”Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位“萌娃”在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；
③所有参与搜寻任务的“萌娃”须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．
则不同的搜寻方案有种．

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三、解答题

16. 已知（ $\sqrt[3]{x}$ ﹣ $\frac{2}{x}$ ）ⁿ的展开式中，第三项的系数为144．

(1)、求该展开式中所有偶数项的二项式系数之和；

(2)、求该展开式的所有有理项．

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17. 某商场举行抽奖活动，规则如下：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次抽奖都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球个数不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

(1)、在一次游戏中，求获奖的概率；

(2)、在三次游戏中，记获奖次数为随机变量X，求X的分布列及期望．

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18. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁ ， a₄ ， a₁₃成等比数列．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若数列{b_n}满足 $\frac{b_{1}}{3}$ + $\frac{b_{2}}{3^{2}}$ +…+ $\frac{b_{n}}{3^{n}}$ =a_n﹣1（n∈N^*），求数列{nb_n}的前n项和T_n ．

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19. 已知函数f（x）=x³+ax²﹣a²x+3．

(1)、若a=2，求f（x）在[﹣1，2]上的最值；

(2)、若f（x）在（﹣ $\frac{1}{2}$ ，1）上是减函数，求a的取值范围．

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20. 已知数列{a_n}满足（a_n+1﹣1）（a_n﹣1）= $\frac{1}{2}$ （a_n﹣a_n+1），a₁=2，若b_n= $\frac{1}{a_{n} - 1}$ ．

(1)、证明：数列{b_n}是等差数列；

(2)、令c_n= $\sqrt{\frac{2}{b_{n} + 1}}$ ，{c_n}的前n项和为T_n ，用数学归纳法证明T_n≥ $\sqrt{n}$ （n∈N^*）．

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21. 已知函数f（x）=（x﹣a）²lnx（a为常数）．

(1)、若f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+2y﹣3=0垂直．
（ⅰ）求实数a的值；
（ⅱ）若a非正，比较f（x）与x（x﹣1）的大小；

(2)、如果0＜a＜1，判断f（x）在（a，1）上是否有极值，若有极值是极大值还是极小值？若无极值，请说明理由．

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	男	女	合计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
合计	60	50	110