2015-2016学年山东省青岛市高密市高二下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-08 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知i是虚数单位，复数z= $\frac{2 i}{2 + i}$ ，则 $\bar{z}$ =（）

A、﹣ $\frac{2}{5}$ + $\frac{4}{5}$ i B、 $\frac{2}{5}$ + $\frac{4}{5}$ i C、 $\frac{2}{5}$ ﹣ $\frac{4}{5}$ i D、﹣ $\frac{2}{5}$ ﹣ $\frac{4}{5}$ i

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2. 由直线x=﹣ $\frac{π}{6}$ ，x= $\frac{π}{6}$ ，y=0与直线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ²），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）

A、0.6 B、0.4 C、0.3 D、0.2

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4. 对于函数f（x）= $\frac{e^{x}}{x^{2}}$ +lnx﹣ $\frac{2 k}{x}$ ，若f′（1）=1，则k=（）

A、 $\frac{e}{2}$ B、 $\frac{e}{3}$ C、﹣ $\frac{e}{2}$ D、﹣ $\frac{e}{3}$

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5. 某学校组织5个年级的学生外出参观包括甲科技馆在内的5个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择甲科技馆的方案有（）

A、A $\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}$ ×A $\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}$ 种 B、A $\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}$ ×4³种 C、C $\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}$ ×A $\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}$ 种 D、C $\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}$ ×4³种

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6. （x²+2）（ $\frac{1}{x^{2}} - 1$ ）⁵的展开式的常数项是（）

A、﹣3 B、﹣2 C、2 D、3

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7. 已知函数f（x）= $\frac{x + b}{e^{x}}$ 在区间（﹣∞，2）上为单调递增函数，则实数b的取值范围是（）

A、（﹣1，1） B、[0，1） C、（1，+∞） D、（﹣∞，﹣1]

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8. 袋子中放有大小、性质完全相同的4个白球和5个黑球，如果不放回地依次摸出2个球，则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{5}{18}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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9. 六个人从左到右排成一行，最右端只能排甲或乙，最左端不能排乙，则不同的排法种数共有（）

A、192 B、216 C、240 D、288

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10. 已知函数f（x）=xlnx﹣ax²有两个极值点，则实数a的取值范围为（）

A、（﹣∞，0） B、（0，+∞） C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、（0，1）

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二、填空题

11. 设随机变量X～B（8， $\frac{3}{4}$ ），则D（X）= ．

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12. 若（1﹣2x）⁹=a₉x⁹+a₈x⁸+…+a₂x²+a₁x+a₀ ，则a₁+a₂+…+a₈+a₉= ．

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13. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为．

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14. 已知整数对按如图规律排成，照此规律，则第68个数对是．

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15. 若曲线C₁：y=ax²（a＞0）与曲线C₂：y=e^x在（0，+∞）上存在公共点，则a的取值范围为．

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 已知（x+ $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ）ⁿ的展开式中的第二项和第三项的系数相等．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中所有二项式系数的和；

(3)、求展开式中所有的有理项．

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17. 医院到某社区检查老年人的体质健康情况，从该社区全体老人中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良．

(1)、将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；

(2)、从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的人数，求ξ的分布列和期望．

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18. 如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，且∠A₁AC= $\frac{π}{3}$ ，点O为AC的中点．

(1)、求证：AC⊥平面A₁OB；

(2)、求二面角B₁﹣AC﹣B的余弦值．

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19. 某大型企业招聘会的现场，所有应聘者的初次面试都由张、王、李三位专家投票决定是否进入下一轮测试，张、王、李三位专家都有“通过”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个应聘者面试时，张、王、李三位专家必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该应聘者初次面试获得“通过”，否则该应聘者不能获得“通过”．

(1)、求应聘者甲的投票结果获得“通过”的概率；

(2)、记应聘者乙的投票结果所含“通过”和“待定”票的票数之和为X，求X的分布列和数学期望．

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20. 某校高二八班选出甲、乙、丙三名同学参加级部组织的科学知识竞赛．在该次竞赛中只设成绩优秀和成绩良好两个等次，若某同学成绩优秀，则给予班级10分的班级积分，若成绩良好，则给予班级5分的班级积分．假设甲、乙、丙成绩为优秀的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ，他们的竞赛成绩相互独立．

(1)、求在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有一名成绩为优秀的概率；

(2)、记在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学所得的班级积分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

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21. 已知函数f（x）=x﹣lnx﹣1，g（x）=k（f（x）﹣x）+ $\frac{x^{2}}{2}$ ，（k∈R）．

(1)、求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；

(2)、求函数g（x）的单调区间；

(3)、当1＜k＜3，x∈（1，e）时，求证：g（x）＞﹣ $\frac{3}{2}$ （1+ln3）．

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